Maßstab verstehen und sicher berechnen

Ein Plan, eine Landkarte oder ein Modell zeigt einen Gegenstand meist verkleinert. Eine Mikroskopabbildung kann ihn dagegen vergrößert zeigen. 1:x bedeutet eine Verkleinerung. Bei 1:100 ist die dargestellte Länge ein Hundertstel so lang wie die wirkliche Länge. x:1 bedeutet eine Vergrößerung. Bei 20:1 ist die dargestellte Länge zwanzigmal so groß wie die wirkliche Länge. 1:1 bedeutet Originalgröße.

Bei einer Verkleinerung der Form 1:x multiplizierst du die Planlänge mit der zweiten Zahl: \text{wirkliche Länge}=\text{Planlänge}\cdot x Vor dem Rechnen klärst du also drei Punkte: Welche Länge gehört zur Darstellung? Welche Länge gehört zur Wirklichkeit? In welcher Einheit soll das Ergebnis stehen? Eine Angabe wie 1\,\text{cm}:25\,\text{km} nennt die unterschiedlichen Einheiten bereits ausdrücklich. Bei einer Kartenlänge von 4\,\text{cm} rechnest du dann direkt: 4\cdot 25\,\text{km}=100\,\text{km} Ein Zahlenmaßstab wie 1:2500 enthält keine Einheit. Das bedeutet: Links und rechts gilt jeweils dieselbe Einheit. Für Karten sind die Umrechnungen in der Tabelle besonders nützlich. Misst du mit dem Lineal die gerade Kartenstrecke zwischen zwei Orten, erhältst du eine Luftlinie. Sie sagt nicht, wie lang eine Straße oder eine tatsächliche Reiseroute ist.

Manchmal kennst du die Planlänge und die wirkliche Länge. Dann gehst du so vor: Bringe beide Längen in dieselbe Einheit. Schreibe das Verhältnis Plan : Wirklichkeit auf. Teile beide Seiten durch die Planlänge, sodass links 1 steht.

Auch bei Modellen vergleichst du entsprechende Längen. Ein Modell im Maßstab 1:87 ist gegenüber dem wirklichen Gegenstand verkleinert. Bei einer Vergrößerung wie 20:1 ist die Darstellung größer als die Wirklichkeit. Ist ein Käfer auf dem Bild 2\,\text{cm} lang, teilst du durch 20: 2\,\text{cm}:20=0{,}1\,\text{cm} Vertiefung: Flächen verändern sich quadratisch: Ein Maßstab beschreibt zunächst Längen. Werden alle Seitenlängen eines Quadrats halbiert, ist die neue Fläche nicht halb so groß. Beim Längenmaßstab 1:2 gilt für die Fläche: 1^2:2^2=1:4 Das verkleinerte Quadrat hat also ein Viertel der ursprünglichen Fläche. Beim Längenmaßstab 10:1 wird die Fläche hundertmal so groß, denn 10^2=100.