Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit prüfen
Wann sind Vektoren linear abhängig, wann unabhängig? Du lernst die Nullkombination, schnelle Tests, das Gauß-Verfahren, die Determinante und die Basis kennen.
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Kurz gesagt
Vektoren sind linear unabhängig, wenn \lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n=0 nur die triviale Lösung \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0 hat. Gibt es eine Lösung mit einem Koeffizienten ungleich null, sind sie linear abhängig. Dann lässt sich ein Vektor aus den anderen zusammensetzen, etwa w=u+v.
Vektoren sind linear abhängig, wenn sich mindestens einer aus den anderen zusammensetzen lässt. Sind sie linear unabhängig, trägt jeder Vektor eine Richtung bei, die nicht durch die übrigen ersetzt werden kann. Auf dieser Seite lernst du, beide Fälle zu erkennen und rechnerisch sicher zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Linearkombination entsteht, wenn du Vektoren mit Zahlen multiplizierst und die Ergebnisse addierst. Setzt du alle Zahlen gleich null, kommt immer der Nullvektor heraus. Das ist die triviale Lösung. Spannend ist die Frage, ob der Nullvektor auch anders entstehen kann. Wenn ja, sind die Vektoren abhängig: Mindestens einer lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Wenn nein, sind sie unabhängig: Jeder Vektor bringt eine eigene Richtung mit.
Definition
Lineare Abhängigkeit
Die Vektoren v_1,\dots,v_n sind linear abhängig, wenn es Zahlen \lambda_1,\dots,\lambda_n gibt, die nicht alle null sind, sodass \lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n=0 gilt. Eine solche Darstellung heißt nichttriviale Nullkombination.
Beispiel: w=u+v als Nullkombination
- 1u=(1,0,1), v=(0,1,1), w=(1,1,2)
- 2Komponentenweise: u+v=(1,1,2)=w
- 3Umstellen: u+v-w=0
- 4Koeffizienten 1, 1 und -1: nicht alle null, also linear abhängig.
Merke: Abhängigkeit erkennst du an mindestens einer nichttrivialen Lösung. Unabhängigkeit musst du dadurch zeigen, dass nur die triviale Lösung möglich ist.
Teste dich
Einige Familien kannst du ohne längere Rechnung beurteilen: Enthält die Familie den Nullvektor, ist sie linear abhängig. Ein einzelner Vektor ist genau dann unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist. Mehr als n Vektoren in \mathbb R^n sind immer abhängig. Daher sind drei Vektoren in \mathbb R^2 und vier Vektoren in \mathbb R^3 stets abhängig. Bei zwei Vektoren hilft der Vielfachentest. Zwei von null verschiedene Vektoren sind abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Geometrisch zeigen sie dann entlang derselben Geraden.
Beispiel: Vielfachentest mit zwei Vektoren
- 1a=(4,2,1), b=(8,4,2): Jede Komponente von a ist halb so groß.
- 2a=\frac{1}{2}b, also linear abhängig
- 3c=(2,1,0), d=(3,2,4): c=\lambda d verlangt \lambda=\frac{2}{3}, \lambda=\frac{1}{2} und \lambda=0
- 4Kein gemeinsamer Faktor, also linear unabhängig
Teste dich
Für mehrere Vektoren nutzt du immer dieselbe Idee: Setze die Linearkombination gleich dem Nullvektor und vergleiche die Komponenten. So entsteht ein homogenes lineares Gleichungssystem, rechts stehen nur Nullen. Löse es, zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren. Nur die triviale Lösung heißt unabhängig, eine nichttriviale Lösung heißt abhängig. Entscheidend ist, ob eine freie Variable übrig bleibt, nicht, ob irgendwo eine Nullzeile auftaucht. Sind es genau n Vektoren im \mathbb R^n, ist die Spaltenmatrix A quadratisch. Dann geht es schneller mit der Determinante: \det(A)\ne0 heißt unabhängig, \det(A)=0 heißt abhängig.
Beispiel: Gauß-Verfahren für a=(1,2,3), b=(1,5,1), c=(3,1,3)
- 1Ansatz: \lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c=0
- 2\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=0
- 32\lambda_1+5\lambda_2+\lambda_3=0
- 43\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=0
- 5Stufenform nach Gauß, letzte Zeile: -28\lambda_3=0
- 6Also \lambda_3=0, dann \lambda_2=0 und \lambda_1=0
- 7Nur die triviale Lösung: a, b und c sind linear unabhängig.
Beispiel: Dieselben Vektoren mit der Determinante
- 1A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&5&1\\3&1&3\end{pmatrix}
- 2\det(A)=1\cdot5\cdot3+2\cdot1\cdot3+3\cdot1\cdot1-3\cdot5\cdot3-1\cdot1\cdot1-2\cdot1\cdot3=-28
- 3-28\ne0: unabhängig, genau wie beim Gauß-Verfahren.
Merke: Der Determinantentest gilt nur für eine quadratische Matrix, also genau n Vektoren im \mathbb R^n. Das Gleichungssystem funktioniert immer.
Teste dich
Eine Basis eines Vektorraums erfüllt zwei Bedingungen: Ihre Vektoren sind linear unabhängig. Ihre Vektoren spannen den ganzen Raum auf, das heißt: Jeder Vektor des Raums lässt sich aus ihnen linear kombinieren. Drei unabhängige Vektoren bilden eine Basis des \mathbb R^3. Zwei unabhängige Vektoren bilden eine Basis des \mathbb R^2. Mit einer Basis ist die Darstellung jedes Vektors eindeutig. Gäbe es zwei verschiedene Darstellungen desselben Vektors, könnte man sie voneinander abziehen. Es entstünde eine nichttriviale Nullkombination der Basisvektoren – im Widerspruch zu ihrer Unabhängigkeit.
Beispiel: v=(4,0,6) in der Basis a, b, c
- 1a, b, c von oben sind unabhängig, also eine Basis des \mathbb R^3.
- 2v=a-\frac{9}{14}b+\frac{17}{14}c
- 3Probe 1. Komponente: 1-\frac{9}{14}+\frac{51}{14}=4
- 4Probe 2. Komponente: 2-\frac{45}{14}+\frac{17}{14}=0
- 5Probe 3. Komponente: 3-\frac{9}{14}+\frac{51}{14}=6
- 6Diese Darstellung ist die einzige, weil die Basisvektoren unabhängig sind.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Definition
nichttriviale Nullkombination heißt abhängig, nur die triviale heißt unabhängig
Schnelle Prüfung
Nullvektor, Dimensionsregel, Vielfachentest
Allgemeine Prüfung
homogenes Gleichungssystem und Gauß-Verfahren
Quadratischer Fall
\det(A)\ne0 heißt unabhängig
Basis
unabhängig und den ganzen Raum aufspannend
Typischer Fehler
Die triviale Lösung gibt es immer, sie beweist nichts
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bilden a=(1,1,0), b=(0,1,1) und c=(1,0,1) eine Basis des \mathbb R^3?
- 1Drei Vektoren im \mathbb R^3: Die Spaltenmatrix ist quadratisch.
- 2A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}
- 3Sarrus: \det(A)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot1
- 4\det(A)=1+0+1-0-0-0=2
- 52\ne0: Die drei Vektoren sind linear unabhängig.
- 6Drei unabhängige Vektoren im \mathbb R^3 bilden eine Basis.
Fehler finden
Sind u=(1,2) und v=(3,6) linear unabhängig? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die triviale Lösung gibt es immer. Auch \lambda_1=3, \lambda_2=-1 passt, denn 3+3\cdot(-1)=0 und 6+6\cdot(-1)=0. Also sind u und v abhängig: v=3u.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Vektoren sind linear , wenn es eine Nullkombination mit Koeffizienten ungleich null gibt. Die Lösung mit allen Koeffizienten null heißt . Mehr als n Vektoren im \mathbb R^n sind immer .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback