Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Kumulierte Binomialverteilung berechnen
Die kumulierte Binomialverteilung fasst Wahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze zusammen. Du lernst, Textangaben sicher in F-Werte zu übersetzen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die kumulierte Binomialverteilung F(k) = P(X \le k) ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer, also die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. Andere Bereiche führst du darauf zurück: „mindestens k“ ist 1 - F(k-1), „genau k“ ist F(k) - F(k-1).
Mit der kumulierten Binomialverteilung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass eine Trefferzahl bis zu einer Grenze reicht. Der wichtigste Schritt ist meist nicht das Rechnen, sondern das genaue Übersetzen von Wörtern wie „höchstens“, „weniger als“ oder „mindestens“ in ein Ereignis mit X.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, ein Bauteil besteht eine Kontrolle mit der Wahrscheinlichkeit p. Du prüfst n Bauteile und zählst, wie viele bestehen. Die Zufallsvariable X ist dann die Trefferzahl. Für genau k Treffer gilt P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}. Der Binomialkoeffizient zählt, an welchen k Stellen die Treffer liegen können. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit, das Modell ist dann höchstens eine Näherung. Auch Wind, Ermüdung oder Lernen können ein konstantes p unplausibel machen.
Definition
Binomialverteilte Trefferzahl
X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, kurz X\sim B(n,p), wenn n gleichartige Versuche betrachtet werden, jeweils nur Treffer oder Nichttreffer wichtig ist, die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant bleibt und die Versuche unabhängig sind. Dann kann X nur die ganzzahligen Werte 0,1,\ldots,n annehmen.
Teste dich
„Kumulieren“ bedeutet aufsummieren. Bei höchstens drei Treffern können null, eins, zwei oder drei Treffer eintreten. Deshalb addierst du vier Einzelwahrscheinlichkeiten. Diese Summe bis einschließlich der Grenze heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Definition
Verteilungsfunktion
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable ist F(k) = P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i). F(k) enthält also alle Trefferzahlen von 0 bis einschließlich k.
Beispiel: Höchstens drei Treffer bei n = 10 und p = 0{,}2
- 1P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
- 2F(3) = 0{,}8^{10} + 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^9 + 45 \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 + 120 \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 \approx 0{,}8791
- 3Mit etwa 87,91 % gibt es höchstens drei Treffer, die 3 zählt mit.
Merke: F(k) ist immer eine Bis-einschließlich-Summe: 0,1,\ldots,k.
Teste dich
Da X nur ganze Trefferzahlen annimmt, macht ein einziges Wort oft den Unterschied von eins. Schreib deshalb zuerst das Ereignis auf und rechne erst danach. Obere Bereiche berechnest du meist über die Gegenwahrscheinlichkeit, weil alle Trefferzahlen zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 haben. Für einen Bereich ziehst du zwei kumulierte Werte voneinander ab. Bei X \sim B(10; 0{,}3) ist zum Beispiel P(X = 3) = F(3) - F(2) \approx 0{,}2668 und P(2 \le X \le 5) = F(5) - F(1) \approx 0{,}8033: Durch das Abziehen von F(1) fallen 0 und 1 weg, übrig bleiben 2 bis 5.
| Formulierung | Ereignis | Mit F berechnet |
|---|---|---|
| genau k | X=k | F(k)-F(k-1) |
| höchstens k | X\le k | F(k) |
| weniger als k | X\lt k, also X\le k-1 | F(k-1) |
| mindestens k | X\ge k | 1-F(k-1) |
| mehr als k | X>k, also X\ge k+1 | 1-F(k) |
| mindestens a, höchstens b | a\le X\le b | F(b)-F(a-1) |
| mehr als a, höchstens b | a\lt X\le b | F(b)-F(a) |
Beispiel: Mindestens drei Treffer bei X \sim B(10; 0{,}2)
- 1Gegenereignis: höchstens zwei Treffer
- 2P(X \ge 3) = 1 - F(2) \approx 1 - 0{,}6778 = 0{,}3222
- 3In rund 32,22 % solcher Versuchsreihen gibt es drei oder mehr Treffer.
Merke: Formuliere zuerst das Gegenereignis vollständig: Zu „mindestens k“ gehört als Gegenereignis „höchstens k-1“.
Teste dich
Tabellen und Rechner sehen unterschiedlich aus, die Eingabe bleibt aber gleich. Leg fest, was als Treffer zählt, bestimme n und p und übersetze den Text in ein Ereignis. Forme es so um, dass nur Werte F(k) = P(X \le k) vorkommen. Bei einer Tabelle wählst du den Abschnitt für n und p und liest in der Zeile für k den Wert F(k) ab. Manche Rechner nehmen auch eine untere und eine obere Grenze. Tabellenwerte sind oft gerundet, kleine Abweichungen sind dann normal. Randfälle: Es gilt immer 0 \le X \le n, also ist „mehr als n Treffer“ unmöglich und „mindestens 0 Treffer“ sicher.
Beispiel: Mindestens vier Treffer bei X \sim B(10; 0{,}3)
- 1Ereignis: X \ge 4, Gegenereignis: X \le 3
- 2Tabelle für n = 10, p = 0{,}3: F(3) \approx 0{,}6496
- 3P(X \ge 4) = 1 - F(3) \approx 1 - 0{,}6496 = 0{,}3504
- 4In gut 35 % solcher Versuchsreihen gibt es mindestens vier Treffer.
Merke: Prüf jedes Ergebnis: Liegt es zwischen 0 und 1? Ist die Grenze richtig ein- oder ausgeschlossen? Wird F(k) mit wachsendem k nie kleiner? Runde erst am Ende.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kumulierte Binomialverteilung
Voraussetzung
X\sim B(n,p) mit Werten 0 bis n
Kern
F(k)=P(X\le k)
Untere Bereiche
direkt mit F
Obere Bereiche
Gegenwahrscheinlichkeit
Intervalle und Einzelwerte
Differenz zweier F-Werte
Sicher rechnen
Ereignis übersetzen, Werkzeug nutzen, Ergebnis prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Raten beim Multiple-Choice-Test
- 120 Fragen mit je 4 Antworten, alles geraten: X \sim B(20; 0{,}25)
- 2Gesucht: mindestens 8 richtige, also X \ge 8
- 3Gegenereignis X \le 7: P(X \ge 8) = 1 - F(7)
- 4F(7) \approx 0{,}8982, also P(X \ge 8) \approx 1 - 0{,}8982 = 0{,}1018
- 5Mit reinem Raten schafft man nur in etwa 10 % der Fälle 8 oder mehr richtige Antworten.
Fehler finden
Mindestens 5 Treffer bei X \sim B(10; 0{,}3) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das Gegenereignis zu X \ge 5 ist X \le 4, denn die 5 gehört zum Ereignis. Richtig ist P(X \ge 5) = 1 - F(4) \approx 1 - 0{,}8497 = 0{,}1503.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
„Höchstens drei Treffer“ bedeutet . Für „mindestens vier Treffer“ rechnest du . Mit wachsendem k kann F(k) nicht .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback