Integralfunktion: Hauptsatz, Ableitung und Graph

Stell dir vor, du startest bei a und verschiebst die rechte Grenze bis x. Zu jeder Position x gehört ein neuer Integralwert. So entsteht keine einzelne Zahl, sondern eine Funktion: I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt Am Basispunkt gilt immer I_a(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0. Liegt x links von a, sind die Grenzen vertauscht, und es gilt \int_a^x f(t)\,dt=-\int_x^a f(t)\,dt. Das Integral ist eine orientierte Flächenbilanz: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Es ist also nicht automatisch der Flächeninhalt.

Bestimme zuerst eine Stammfunktion F von f, also F'=f. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert dann I_a(x)=F(x)-F(a). Eine Integrationskonstante brauchst du nicht: In (F(x)+C)-(F(a)+C) hebt sich C auf. Ist f auf einem Intervall J stetig und liegt a in J, dann ist I_a auf J differenzierbar, und es gilt I_a'(x)=f(x) Anschaulich: Schiebst du die obere Grenze ein kleines Stück weiter, kommt ungefähr ein schmaler Streifen der Höhe f(x) hinzu. Ist f selbst differenzierbar, gilt außerdem I_a''(x)=f'(x). Damit untersuchst du Krümmung und Wendestellen.

Weil I_a'=f gilt, liest du die Monotonie von I_a am Vorzeichen von f ab: Ist f(x)>0, steigt I_a. Ist f(x)<0, fällt I_a. Bei f(x)=0 hat I_a eine waagerechte Tangente. Eine Nullstelle von f ist nur ein Kandidat für eine Extremstelle. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel: von + nach - ergibt ein lokales Maximum, von - nach + ein lokales Minimum. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es kein Extremum, obwohl die Tangente waagerecht ist.

Schreibe \int_a^x f(t)\,dt und nicht \int_a^x f(x)\,dx: Dieselbe Variable doppelt zu verwenden, führt zu Verwechslungen. Der Term lautet F(x)-F(a), nicht F(a)-F(x). Unterhalb der Achse sammelt die Integralfunktion negative Beiträge, ihr Wert ist also kein Flächeninhalt. Nullstellen von I_a und von f bedeuten Verschiedenes: I_a(x)=0 heißt, die Flächenbilanz von a bis x ist null. f(x)=0 heißt, I_a hat dort die Steigung null. Und vergiss den Definitionsbereich nicht: Ist f nur auf einem Intervall J stetig, müssen der Basispunkt und der ganze Weg von a bis x in J liegen.