Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Mindestens-Aufgaben: Gegenereignis und Logarithmus
Du lernst, mit Gegenereignis und Logarithmus die kleinste Versuchszahl zu finden, bei der mindestens ein Treffer wahrscheinlich genug ist.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei einer Mindestens-Aufgabe suchst du die kleinste Anzahl n, sodass mindestens ein Treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens P_{\min} eintritt. Über das Gegenereignis gilt 1-(1-p)^n\ge P_{\min}. Diese Ungleichung löst du mit dem Logarithmus nach n und rundest auf.
Bei einer Mindestens-Aufgabe suchst du meist die kleinste Anzahl n von Wiederholungen, sodass mindestens ein Treffer mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit eintritt. Der kurze Weg führt über das Gegenereignis „kein Treffer“: P(\text{mindestens ein Treffer})=1-(1-p)^n Du prüfst zuerst das Modell, stellst dann eine Ungleichung auf, löst sie mit dem Logarithmus und rundest für eine Mindestanzahl auf.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Typische Formulierungen lauten: „Wie oft muss man mindestens versuchen, damit man mit mindestens 90\,\% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal trifft?“ Deshalb heißt dieser Typ auch „dreimal mindestens“. Die Standardformel passt, wenn jeder Versuch als Treffer oder Nichttreffer eingeordnet werden kann, die Trefferwahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich bleibt und die Versuche unabhängig modelliert werden. Dabei ist p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers in einem Versuch. Verwechsle sie nicht mit der Gesamtwahrscheinlichkeit nach mehreren Versuchen.
Definition
Bernoulli-Versuch
Ein Bernoulli-Versuch hat genau zwei für die Aufgabe wichtige Ausgänge: Treffer oder kein Treffer. Bei den Wiederholungen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich. Die Versuche werden im verwendeten Modell unabhängig voneinander betrachtet.
Teste dich
„Mindestens ein Treffer“ umfasst viele Möglichkeiten: genau einen, genau zwei oder noch mehr Treffer. Das Gegenereignis ist viel einfacher: In allen n Versuchen gibt es keinen Treffer. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit p, dann ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer in einem Versuch 1-p. Für n unabhängige Wiederholungen gilt: P(\text{kein Treffer in }n\text{ Versuchen})=(1-p)^n Daraus folgt: P(\text{mindestens ein Treffer})=1-(1-p)^n
Beispiel: Drei Versuche mit p=0{,}2
- 1Kein Treffer in einem Versuch: 1-p=0{,}8
- 2Kein Treffer in drei Versuchen: 0{,}8^3=0{,}512
- 3Mindestens ein Treffer: 1-0{,}512=0{,}488, also 48{,}8\,\%
Merke: Übersetze „mindestens einmal“ zuerst in das Gegenereignis „keinmal“. So musst du nicht die Fälle mit einem, zwei, drei und mehr Treffern einzeln addieren.
Teste dich
Gegeben sind die Einzeltrefferwahrscheinlichkeit p und die verlangte Mindestwahrscheinlichkeit P_{\min}, beide streng zwischen 0 und 1. Du stellst die Mindestbedingung auf: 1-(1-p)^n\ge P_{\min} Dann bringst du die Potenz allein auf eine Seite. Beim Multiplizieren mit -1 kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: (1-p)^n\le 1-P_{\min} Logarithmieren und nach n auflösen ergibt: n\ge \frac{\ln(1-P_{\min})}{\ln(1-p)} Der Nenner \ln(1-p) ist negativ, weil 1-p zwischen 0 und 1 liegt. Deshalb kehrt sich beim Teilen durch ihn das Zeichen noch einmal um. Zum Schluss rundest du auf die nächste ganze Zahl auf und setzt zur Kontrolle n und n-1 in 1-(1-p)^n ein.
Beispiel: Elfmeter: mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit für ein Tor
- 1Der Torwart hält 80 % der Schüsse. Treffer ist ein Tor: p=0{,}2 und 1-p=0{,}8.
- 2Ungleichung: 1-0{,}8^n\ge 0{,}9, also 0{,}8^n\le 0{,}1
- 3Logarithmus: n\ge \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)}\approx 10{,}319
- 4Aufrunden: n=11
- 5Probe: 1-0{,}8^{10}\approx 0{,}8926 reicht nicht, 1-0{,}8^{11}\approx 0{,}9141 reicht.
- 6Der Schütze muss mindestens elfmal schießen.
Merke: Aufrunden allein beweist noch nicht, dass dein Ergebnis minimal ist. Die Probe muss zeigen: Mit n wird das Ziel erreicht, mit n-1 noch nicht.
Teste dich
Die meisten Fehler passieren nicht beim Rechnen, sondern beim Übersetzen der Aufgabe. Prüfe deshalb jedes Mal das Modell, die Wahl von p, die Richtung des Ungleichheitszeichens und die Rundung. Die Probe mit n-1 und n deckt die meisten Fehler auf.
| Fehler | So ist es richtig |
|---|---|
| p falsch gewählt | Gesucht ist eine 6, also p=\frac16 und nicht \frac56. |
| Gegenereignis vergessen | (1-p)^n ist kein Treffer, mindestens einer ist 1-(1-p)^n. |
| Zeichen nicht umgedreht | Beim Teilen durch das negative \ln(1-p) kehrt sich das Zeichen um. |
| Abgerundet | Eine Mindestanzahl wird immer aufgerundet. |
| Modell nicht geprüft | Bei veränderlichem p passt die Standardformel nicht. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mindestens-Aufgaben
Modell
zwei Ausgänge, festes p, unabhängige Wiederholungen
Gegenereignis
kein Treffer in allen n Versuchen, also (1-p)^n
Mindestens ein Treffer
1-(1-p)^n
Ungleichung
1-(1-p)^n\ge P_{\min} mit dem Logarithmus nach n lösen
Runden
eine Mindestanzahl immer aufrunden
Probe
mit n wird das Ziel erreicht, mit n-1 noch nicht
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie oft mindestens würfeln, damit mit mindestens 98 % eine 6 fällt?
- 1Treffer ist eine 6: p=\frac16. Gegenereignis: keine 6 in n Würfen, also \left(\frac56\right)^n
- 21-\left(\frac56\right)^n\ge 0{,}98, also \left(\frac56\right)^n\le 0{,}02
- 3n\ge \frac{\ln(0{,}02)}{\ln\left(\frac56\right)}\approx 21{,}457
- 4Aufrunden: n=22
- 5Probe: bei 21 Würfen etwa 97{,}83\,\%, bei 22 Würfen etwa 98{,}19\,\%
- 6Du musst mindestens 22-mal würfeln.
Fehler finden
Glücksrad mit p=0{,}3: Wie oft drehen für mindestens 95 %? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Eine Mindestanzahl wird aufgerundet: n=9. Probe: 1-0{,}7^8\approx 0{,}9424 reicht nicht, 1-0{,}7^9\approx 0{,}9596 schon.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Gegenereignis zu „mindestens ein Treffer“ ist . Beim Teilen durch \ln(1-p) kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, weil dieser Wert ist. Eine Mindestanzahl wird immer .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback