Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Der Mittelpunkt halbiert eine Strecke. Du lernst, ihn mit der Mittelpunktformel oder über Vektoren in der Ebene und im Raum zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Mittelpunkt M einer Strecke liegt genau zwischen den Endpunkten A und B und ist von beiden gleich weit entfernt. Du addierst die passenden Koordinaten und teilst jede Summe durch 2. Beispiel: A(1|7) und B(5|3) haben den Mittelpunkt M(3|5).
Der Mittelpunkt M liegt genau zwischen den Endpunkten A und B. Du berechnest jede Koordinate von M, indem du die entsprechenden Koordinaten der Endpunkte addierst und durch 2 teilst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine Strecke mit den Endpunkten A und B vor. Ihr Mittelpunkt M teilt sie in zwei gleich lange Teilstrecken: \overline{AM} = \overline{MB}. Die Koordinaten von M liegen jeweils genau zwischen den entsprechenden Koordinaten von A und B. Deshalb bildest du für jede Koordinate den arithmetischen Mittelwert.
Definition
Mittelpunkt
Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Punkt zwischen ihren Endpunkten, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist.
Merke: Mittelpunkt bedeutet: passende Koordinaten addieren und durch 2 teilen.
Teste dich
Für zwei Punkte in der Ebene A(x_A|y_A),\qquad B(x_B|y_B) lautet die Mittelpunktformel: M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\middle|\frac{y_A+y_B}{2}\right) Im Raum kommt die dritte Koordinate hinzu: M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\middle|\frac{y_A+y_B}{2}\middle|\frac{z_A+z_B}{2}\right) Die Reihenfolge der Endpunkte spielt keine Rolle: Bei einer Addition kannst du die Summanden vertauschen.
Beispiel: Mittelpunkt von C(4|2|9) und D(2|-4|1)
- 1x: (4+2):2 = 3
- 2y: (2+(-4)):2 = -2:2 = -1
- 3z: (9+1):2 = 5
- 4M(3|-1|5)
Teste dich
Ein Ortsvektor führt vom Ursprung O zu einem Punkt. Ein Verbindungsvektor führt von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt. Der Verbindungsvektor von A nach B wird nach der Regel Ziel minus Start berechnet: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} Vom Punkt A gelangst du zum Mittelpunkt, indem du die Hälfte dieses Verbindungsvektors zurücklegst: \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB} Du kannst ebenso bei B starten und die Hälfte von \overrightarrow{BA} addieren. Beide Wege führen zum selben Punkt.
Beispiel: Mittelpunkt von E(3|8|1) und F(9|2|-7) über Vektoren
- 1\overrightarrow{EF} = (9-3|2-8|-7-1) = (6|-6|-8)
- 2\frac12\overrightarrow{EF} = (3|-3|-4)
- 3\overrightarrow{OM} = (3|8|1) + (3|-3|-4) = (6|5|-3)
- 4M(6|5|-3)
Teste dich
Die meisten Fehler passieren beim Einsetzen, nicht in der Formel. Achte deshalb auf die vier Punkte in der Tabelle. Eine schnelle Probe hilft immer: Jede Koordinate von M muss zwischen den entsprechenden Koordinaten von A und B liegen.
| Worauf achten? | So machst du es richtig |
|---|---|
| Koordinaten zuordnen | Mittle nur x mit x, y mit y und z mit z. |
| Jede Summe halbieren | Die Division durch 2 gilt für jede Koordinate. |
| Negative Zahlen einklammern | Schreibe zum Beispiel 2+(-4). |
| Vektorrichtung beachten | Für \overrightarrow{AB} rechnest du B-A. |
Beispiel: Mittelpunkt von K(3|6|8) und L(5|4|10) mit Probe
- 1x: (3+5):2 = 4
- 2y: (6+4):2 = 5
- 3z: (8+10):2 = 9
- 4M(4|5|9)
- 5Probe: 4 liegt zwischen 3 und 5, 5 zwischen 6 und 4, 9 zwischen 8 und 10.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mittelpunkt einer Strecke
Bedeutung
M teilt die Strecke in zwei gleich lange Teile
Mittelpunktformel
passende Koordinaten addieren und durch 2 teilen, in Ebene und Raum
Vektorweg
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac12\overrightarrow{AB}
Richtung
Verbindungsvektor ist Ziel minus Start
Probe
jede Koordinate von M liegt zwischen denen der Endpunkte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Mittelpunkt von G(5|7|-2) und H(7|3|10) über den Vektorweg
- 1\overrightarrow{GH} = (7-5|3-7|10-(-2)) = (2|-4|12)
- 2\frac12\overrightarrow{GH} = (1|-2|6)
- 3\overrightarrow{OM} = (5|7|-2) + (1|-2|6) = (6|5|4)
- 4Probe mit der Formel: (5+7):2 = 6, (7+3):2 = 5, (-2+10):2 = 4
- 5Der Mittelpunkt ist M(6|5|4).
Fehler finden
Mittelpunkt von A(-6|1|3) und B(2|-5|7) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das Minus von -5 ging verloren. Richtig ist (1+(-5)):2 = -4:2 = -2, also M(-2|-2|5). Die Probe zeigt es: 3 liegt nicht zwischen 1 und −5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Mittelpunkt addierst du die passenden Koordinaten und jede Summe. Den Verbindungsvektor \overrightarrow{AB} berechnest du als . Zum Mittelpunkt kommst du, wenn du zu \overrightarrow{OA} Verbindungsvektor addierst.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback