Integrationsregeln: Stammfunktionen sicher bilden

Warum ist C nötig? Beim Ableiten verschwindet jede Konstante. Deshalb haben zum Beispiel 3x^2, 3x^2+1 und 3x^2-3 alle dieselbe Ableitung 6x.

Bei Polynomen zerlegst du den Integranden in einzelne Terme. Konstanten darfst du vor das Integral ziehen. Potenzregel: Für n\ne-1 gilt: \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Für n=-1 wäre der Nenner 0; deshalb gilt diese Regel nicht für 1/x. Faktor-, Summen- und Differenzregel: \int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx Bei einer Differenz integrierst du ebenfalls gliedweise und behältst das Minuszeichen bei. Auch bekannte Grundstammfunktionen lassen sich mit der Faktorregel verbinden: \int 2\cos(x)\,dx=2\sin(x)+C

Nicht jeder Integrand ist eine Summe von Potenzen. Die Struktur zeigt dir, welche Methode du prüfen solltest. Bei der Substitution treten eine innere Funktion und ihre Ableitung gemeinsam auf. Die partielle Integration hilft bei einem Produkt, das einfacher wird, wenn du einen Faktor ableitest und den anderen integrierst. Die logarithmische Integration passt zu einem Bruch der Form f'(x)/f(x). Beispiel: Da (x^3-x^4)'=3x^2-4x^3 ist, gilt dort, wo der Nenner nicht null ist, \int\frac{3x^2-4x^3}{x^3-x^4}\,dx=\ln|x^3-x^4|+C.

Ein bestimmtes Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl. Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt der Hauptsatz: \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Du setzt zuerst die obere, dann die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein. Ein +C hebt sich bei der Subtraktion auf. Für Integrationsgrenzen gelten drei wichtige Regeln: \int_a^a f(x)\,dx=0 \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz. Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Für einen geometrischen Gesamtflächeninhalt musst du an Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren. Prüfe am Ende immer: Passt die Methode zur Struktur? Gilt die Bedingung, etwa n\ne-1 oder ein Nenner ungleich null? Steht beim unbestimmten Integral +C? Und ergibt die Ableitung deiner Stammfunktion wieder den Integranden?