Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Integralrechnung: Integrale verstehen und berechnen
Die Integralrechnung fasst viele kleine Beiträge zusammen. Du lernst Stammfunktionen, bestimmte Integrale, Flächenbilanzen und Bestandsrechnungen.
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Kurz gesagt
Die Integralrechnung kehrt das Ableiten um: Eine Stammfunktion F von f erfüllt F'=f. Ein bestimmtes Integral berechnest du mit dem Hauptsatz als \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), etwa \int_0^2 2x\,dx=2^2-0^2=4. Es ist eine Flächenbilanz: Flächen unter der x-Achse zählen negativ.
Mit einem Integral kannst du viele kleine Beiträge zu einem Gesamtwert zusammenfassen. So berechnest du zum Beispiel eine Flächenbilanz oder rekonstruierst aus einer Zuflussrate die hinzugekommene Wassermenge. Auf dieser Seite lernst du, wie Rechtecksummen zum Integral führen, wie du Stammfunktionen bildest und wie du bestimmte Integrale richtig deutest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir die Fläche unter einem Graphen als Summe schmaler Rechtecke vor. Jedes Rechteck hat ungefähr den Inhalt Breite mal Höhe. Die Summe dieser Produkte heißt Produktsumme. Werden die Rechtecke immer schmaler, nähert sich die Summe dem bestimmten Integral. Das Zeichen \int erinnert an ein lang gezogenes S für „Summe“. Das dx zeigt die Integrationsvariable an und steht anschaulich für die immer schmaleren Abschnitte auf der x-Achse.
Definition
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral \int_a^b f(x)\,dx fasst die Beiträge von f zwischen der unteren Grenze a und der oberen Grenze b zusammen. Beiträge oberhalb der x-Achse zählen positiv, Beiträge darunter negativ.
Beispiel: f(x)=2x auf [0,2] mit vier Rechtecken
- 1Breite jedes Abschnitts: 0{,}5
- 2Untersumme mit den linken Randwerten: U_4=0{,}5\cdot(0+1+2+3)=3
- 3Obersumme mit den rechten Randwerten: O_4=0{,}5\cdot(1+2+3+4)=5
- 4Der Integralwert liegt zwischen 3 und 5.
- 5Mit immer schmaleren Rechtecken nähern sich beide Summen dem Wert 4.
Teste dich
Für f(x)=2x ist F(x)=x^2 eine Stammfunktion, denn (x^2)'=2x. Auch x^2+1 und x^2-5 sind Stammfunktionen, weil Konstanten beim Ableiten verschwinden. Das unbestimmte Integral ist deshalb eine Funktionenschar: \int 2x\,dx=x^2+c. Für Potenzen gilt \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c für n\ne-1: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Faktoren bleiben stehen, Summen integrierst du gliedweise. Für n=-1 gilt stattdessen \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c auf einem Intervall ohne 0. Beim bestimmten Integral sind die Grenzen fest, und der Hauptsatz liefert \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). So ist \int_0^2 2x\,dx=2^2-0^2=4, derselbe Wert wie bei den Rechtecksummen.
Definition
Stammfunktion
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x)=f(x) gilt. Du kannst das Ergebnis einer Integration deshalb durch Ableiten prüfen.
Beispiel: Stammfunktion zu f(x)=4x^3+5x
- 1\int(4x^3+5x)\,dx=x^4+2{,}5x^2+c
- 2Probe: (x^4+2{,}5x^2+c)'=4x^3+5x
Merke: Oben minus unten: F(b)-F(a). Die Integrationskonstante kannst du beim bestimmten Integral weglassen, weil sie sich in (F(b)+c)-(F(a)+c) aufhebt.
Teste dich
Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz: Oberhalb der x-Achse entstehen positive Beiträge, unterhalb negative. Beide können sich gegenseitig aufheben. Ein geometrischer Flächeninhalt ist dagegen nie negativ. Wechselt f das Vorzeichen, teilst du das Intervall an der Nullstelle und addierst die Beträge der Teilintegrale. Bei der Fläche zwischen zwei Graphen bestimmst du zuerst die Schnittpunkte und integrierst in jedem Teilintervall obere minus untere Funktion.
Beispiel: f(x)=x^3-4x auf [-2,2]
- 1Nullstellen: -2, 0 und 2
- 2Stammfunktion: F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^2
- 3\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=F(0)-F(-2)=4
- 4\int_0^2(x^3-4x)\,dx=F(2)-F(0)=-4
- 5Bilanz: 4+(-4)=0
- 6Flächeninhalt: A=|4|+|-4|=8
Teste dich
Eine Änderungsrate sagt, wie viel pro Zeiteinheit hinzukommt oder verloren geht. Ihr Integral über ein Zeitintervall liefert die gesamte Bestandsänderung: \int_a^b r(t)\,dt. Kennst du den Anfangsbestand, gilt B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,dt Mit einer variablen oberen Grenze entsteht eine Integralfunktion I(x)=\int_a^x f(t)\,dt. Sie sammelt die Beiträge von der festen Startstelle a bis x, es gilt I(a)=0 und für stetiges f auch I'(x)=f(x).
Beispiel: Wasser im Behälter nach 10 Minuten
- 1Rate: r(t)=-t^2+20t in Litern pro Minute, der Behälter ist anfangs leer
- 2Stammfunktion: R(t)=-\frac{t^3}{3}+10t^2
- 3\int_0^{10}(-t^2+20t)\,dt=R(10)-R(0)=\frac{2000}{3}
- 4Das sind etwa 666{,}7 Liter im Behälter.
- 5Einheit: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Integralrechnung
Rechtecksummen
nähern das bestimmte Integral an
Stammfunktion
F'=f, Probe durch Ableiten
Hauptsatz
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
Flächenbilanz
oben positiv, unten negativ
Flächeninhalt
an Nullstellen teilen, Beträge addieren
Rekonstruktion
Anfangsbestand plus Integral der Rate
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Fläche zwischen f(x)=x^2-1 und der x-Achse auf [0,2]
- 1Nullstelle im Intervall: x^2-1=0 bei x=1
- 2Stammfunktion: F(x)=\frac{x^3}{3}-x
- 3\int_0^1(x^2-1)\,dx=F(1)-F(0)=-\frac{2}{3}
- 4\int_1^2(x^2-1)\,dx=F(2)-F(1)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}
- 5Flächeninhalt: A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2
- 6Zum Vergleich die Bilanz: \int_0^2(x^2-1)\,dx=\frac{2}{3}
Fehler finden
Fläche zwischen f(x)=x^2-4 und der x-Achse auf [0,3] In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3f wechselt bei x=2 das Vorzeichen, dort musst du teilen: \int_0^2(x^2-4)\,dx=-\frac{16}{3} und \int_2^3(x^2-4)\,dx=\frac{7}{3}. Also ist A=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein bestimmtes Integral berechnest du mit . Werden die Rechtecke immer , nähert sich die Produktsumme dem Integral. Wechselt f das Vorzeichen, teilst du für den Flächeninhalt an den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback