Lineare Abhängigkeit von Vektoren prüfen

Betrachte die Vektoren \vec v_1,\ldots,\vec v_n. Du suchst Skalare \lambda_1,\ldots,\lambda_n, für die gilt: \lambda_1\vec v_1+\cdots+\lambda_n\vec v_n=\vec 0 Die Wahl \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0 funktioniert immer. Sie heißt triviale Lösung und beweist noch keine Abhängigkeit. Sind dagegen alle Koeffizienten zwingend null, heißen die Vektoren linear unabhängig. Das Kriterium lässt sich auch anders lesen: Eine Familie ist abhängig, wenn sich mindestens einer ihrer Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt. Enthält die Familie den Nullvektor, ist sie ebenfalls abhängig.

Bei zwei Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, genügt eine kurze Prüfung: Ist einer ein Vielfaches des anderen, also \vec a=\lambda\vec b? Berechne \lambda für jede Komponente einzeln. Kommt überall derselbe Wert heraus, sind die Vektoren abhängig. Geometrisch zeigen sie dann in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung. Ein häufiger Fehler ist, nur eine oder zwei Komponenten zu vergleichen. Der Faktor muss alle Komponenten gleichzeitig erfüllen.

Für drei Vektoren setzt du die homogene Gleichung an: \lambda_1\vec a+\lambda_2\vec b+\lambda_3\vec c=\vec 0. Schreibe die Vektoren als Spalten einer Matrix und bringe sie mit Zeilenumformungen in Stufenform. Hat jede Spalte eine Pivotposition, ist nur \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 möglich: Die Vektoren sind unabhängig. Bleibt eine freie Variable, gibt es eine nichttriviale Lösung: Sie sind abhängig. Kurztest Determinante: Bei genau drei Vektoren im \mathbb R^3 ist die Matrix quadratisch. \det(A)\ne0 heißt unabhängig, \det(A)=0 heißt abhängig. Für die Matrix im Beispiel ist \det(A)=0. Probe: 2\vec a+3\vec b=(2,4,2)+(0,-3,6)=(2,1,8)=\vec c. Also ist \vec c eine Linearkombination von \vec a und \vec b.

Linear unabhängige Vektoren bringen jeweils eine neue Richtung in den aufgespannten Raum ein. Deshalb kann es im \mathbb R^n höchstens n linear unabhängige Vektoren geben. Daraus folgen wichtige Spezialfälle: Mehr als zwei Vektoren in einer Ebene sind abhängig. Mehr als drei Vektoren im \mathbb R^3 sind abhängig. Drei unabhängige Vektoren im \mathbb R^3 bilden eine Basis des Raumes. Eine Basis ist eine unabhängige Vektorfamilie, die den ganzen Raum aufspannt. Die Standardbasis des \mathbb R^3 ist \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}. Jeder Vektor im \mathbb R^3 lässt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen. Fügt man einen vierten Vektor hinzu, ist die gesamte Familie aus vier Vektoren abhängig.