Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Linearkombination von Vektoren einfach erklärt
Du lernst, Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren und zu addieren, einen Zielvektor darzustellen und zu prüfen, ob die Darstellung eindeutig ist.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Linearkombination ist eine Summe von Vektoren, die vorher mit Zahlen multipliziert wurden: λ_1v_1+λ_2v_2+…+λ_nv_n. Die Zahlen λ_i heißen Koeffizienten. Ob ein Zielvektor so darstellbar ist, klärt ein lineares Gleichungssystem aus dem Koordinatenvergleich.
Wie setzt du einen Vektor aus vorgegebenen Vektoren zusammen? Bei einer Linearkombination multiplizierst du Vektoren mit Zahlen und addierst die Ergebnisse. Um einen Zielvektor darzustellen, suchst du passende Koeffizienten mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Alle Vektoren einer Linearkombination müssen gleich viele Koordinaten haben. Ein Koeffizient darf positiv, negativ oder null sein. Bei λ_i=0 trägt der betreffende Vektor nichts zum Ergebnis bei. Du rechnest koordinatenweise: Erst multiplizierst du jede Koordinate mit ihrem Koeffizienten, dann addierst du die Vektoren Koordinate für Koordinate.
Definition
Linearkombination
Für Vektoren v_1, v_2, …, v_n aus demselben reellen Vektorraum und reelle Zahlen λ_1, λ_2, …, λ_n heißt λ_1v_1 + λ_2v_2 + … + λ_nv_n eine Linearkombination. Die Zahlen λ_i heißen Koeffizienten. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Beispiel: 2v_1-3v_2 berechnen
- 1v_1=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} und v_2=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}
- 22v_1=\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix} und 3v_2=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}
- 32v_1-3v_2=\begin{pmatrix}4-9\\10-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\10\end{pmatrix}
Teste dich
Gesucht sind Koeffizienten, für die ein Zielvektor v die Gleichung v=λ_1v_1+λ_2v_2+…+λ_nv_n erfüllt. Vergleiche dazu die Koordinaten: Jede Zeile liefert eine Gleichung. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten.
Beispiel: Einen Zielvektor aus drei Vektoren zusammensetzen
- 1v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, Ziel: \begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}
- 2Ansatz: \begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}=λ_1v_1+λ_2v_2+λ_3v_3
- 3(I) 1=λ_1+λ_2+2λ_3
- 4(II) 4=2λ_1+λ_2+λ_3
- 5(III) 6=λ_1+λ_2+λ_3
- 6(I) − (III): λ_3=-5
- 7(II) − (I): λ_1-λ_3=3, also λ_1=-2
- 8In (III): -2+λ_2-5=6, also λ_2=13
- 9Ergebnis: \begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}=-2v_1+13v_2-5v_3
- 10Probe: \begin{pmatrix}-2\\-4\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}13\\13\\13\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10\\-5\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}
Teste dich
Das Gleichungssystem für die Koeffizienten kann drei Arten von Ergebnissen haben. Genau eine Lösung: Der Zielvektor hat genau eine Darstellung. Unendlich viele Lösungen: Es gibt frei wählbare Parameter und damit unendlich viele passende Koeffizienten. Keine Lösung: Der Zielvektor liegt nicht im Spann der Ausgangsvektoren. Zwei nicht kollineare Vektoren, also keiner ein Vielfaches des anderen, spannen im Raum eine Ebene durch den Ursprung auf. Ein Zielvektor, dessen Spitze außerhalb dieser Ebene liegt, lässt sich nicht aus ihnen zusammensetzen. Ob eine vorhandene Darstellung eindeutig ist, entscheidet die lineare Unabhängigkeit: Sind die Ausgangsvektoren abhängig, kannst du eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors beliebig oft dazuaddieren. Umgekehrt ergibt die Differenz zweier verschiedener Darstellungen eine solche Nullvektordarstellung. Aber Vorsicht: Unabhängigkeit allein heißt nicht, dass jeder Vektor darstellbar ist. Prüfe zuerst, ob der Zielvektor im Spann liegt. In einem Raum der Dimension d sind höchstens d Vektoren linear unabhängig, im Raum also höchstens drei.
Definition
Spann
Der Spann von v_1, …, v_n ist die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lassen.
Definition
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren v_1, …, v_n sind linear unabhängig, wenn λ_1v_1+…+λ_nv_n=0 nur für λ_1=…=λ_n=0 gilt. Rechts steht der Nullvektor, dessen Koordinaten alle null sind. Diese Koeffizientenwahl heißt trivial.
Merke: Ein Zielvektor liegt genau dann im Spann der Ausgangsvektoren, wenn das zugehörige Gleichungssystem mindestens eine Lösung besitzt.
Teste dich
Bei gewöhnlichen Linearkombinationen dürfen die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen sein. Zusätzliche Bedingungen führen zu Spezialfällen: Konische Linearkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null. Affine Kombination: Die Summe aller Koeffizienten ist 1. Konvexkombination: Alle Koeffizienten sind mindestens null und ihre Summe ist 1. Zeichnest du zwei Vektoren als Pfeile vom selben Ursprung aus, liegen die Spitzen ihrer Konvexkombinationen auf der Strecke zwischen den beiden Pfeilspitzen, einschließlich der Endpunkte.
Merke: Eine Konvexkombination ist zugleich konisch und affin. Eine affine Kombination muss dagegen nicht konvex sein, weil sie negative Koeffizienten enthalten darf.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Linearkombination
Berechnen
Vektoren skalieren und Koordinaten addieren
Zielvektor darstellen
Koeffizienten ansetzen und Gleichungssystem lösen
Spann
mindestens eine Lösung des Gleichungssystems
Lineare Unabhängigkeit
nur triviale Nullvektordarstellung
Eindeutigkeit
bei vorhandener Darstellung und unabhängigen Ausgangsvektoren
Spezialfälle
konisch, affin und konvex
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} durch v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} und v_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} darstellen
- 1Ansatz: \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
- 2(I) a+2b=5 und (II) 2a+b=4
- 3Aus (I): a=5-2b
- 4In (II): 2(5-2b)+b=4, also 10-3b=4
- 5b=2 und a=5-2\cdot2=1
- 6Probe: 1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}
Fehler finden
Berechne 3v_1-2v_2 für v_1=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} und v_2=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In der zweiten Koordinate wird -2 abgezogen: 12-(-2)=14. Richtig ist 3v_1-2v_2=\begin{pmatrix}-1\\14\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zuerst setzt du den als Linearkombination an. Durch den Vergleich der entsteht ein . Seine Lösungen sind die gesuchten Koeffizienten.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback