Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren. Du lernst seine zwei Teile, rechnest bestimmte Integrale mit Stammfunktionen und vermeidest Grenzfehler.
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Kurz gesagt
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt: Die Integralfunktion A(x) = \int_a^x f(t) \, dt einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion, also A'(x) = f(x). Und mit jeder Stammfunktion F gilt \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), zum Beispiel \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}.
Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren: Eine Integralfunktion liefert eine Stammfunktion, und mit einer Stammfunktion berechnest du ein bestimmtes Integral exakt. Statt immer feinere Rechtecke zu addieren, setzt du nur die Grenzen in die Stammfunktion ein.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Beim Integrieren suchst du eine Funktion, deren Ableitung der gegebene Integrand ist. Ganz ohne Einschränkung sind Ableiten und Integrieren aber keine perfekten Umkehroperationen: Verschiedene Stammfunktionen können sich um eine Konstante unterscheiden. Der Hauptsatz hat in der Schulform zwei Teile. Erster Teil: Ist f stetig, dann ist die Integralfunktion A(x) = \int_a^x f(t) \, dt eine Stammfunktion von f, es gilt A'(x) = f(x). Zweiter Teil: Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f, dann gilt \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).
Definition
Stammfunktion
Eine Stammfunktion von f ist eine differenzierbare Funktion F mit F'(x) = f(x).
Merke: Der erste Teil führt vom Integral zur Ableitung. Der zweite Teil führt von einer Stammfunktion zum Wert eines bestimmten Integrals.
Teste dich
Halte die untere Grenze a fest und lass die obere Grenze x wandern. A(x) sammelt die Integralwerte von a bis x. Verschiebst du die obere Grenze um ein kleines Stück h, kommt das Integral über das kurze Intervall von x bis x + h dazu: A(x + h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt. Teilst du durch h, erhältst du den mittleren Funktionswert auf diesem kurzen Intervall. Geht h gegen null und ist f bei x stetig, nähert sich dieser Mittelwert dem Wert f(x). Deshalb gilt A'(x) = f(x). Die Variable t ist nur die Integrationsvariable, x ist die bewegliche obere Grenze. Dasselbe Bild erklärt auch den zweiten Teil: Zerlegst du [a; b] in kleine Stücke, addieren sich die kleinen Änderungen von F. Alle inneren Werte heben sich in dieser Teleskopsumme auf, übrig bleibt F(b) - F(a).
Beispiel: Integralfunktion von f(t) = t^2 mit unterer Grenze 0
- 1A(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}
- 2A'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2
- 3Also gilt A'(x) = f(x), wie der erste Teil sagt.
Teste dich
Für die Rechnung brauchst du den zweiten Teil des Hauptsatzes. Gehe in vier Schritten vor. Finde eine Stammfunktion F des Integranden f. Prüfe durch Ableiten, ob wirklich F' = f gilt. Setze die obere und die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein. Berechne F(b) - F(a) und prüfe, ob das Ergebnis plausibel ist.
Beispiel: \int_0^2 x^2 \, dx berechnen
- 1Stammfunktion: F(x) = \frac{x^3}{3}, denn F'(x) = x^2
- 2\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2
- 3= F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}
- 4Plausibel: kleiner als das Rechteck mit Breite 2 und Höhe 4, also kleiner als 8.
Merke: Obere Grenze minus untere Grenze, beide in dieselbe Stammfunktion eingesetzt: F(b) - F(a).
Teste dich
Grenzen vertauschen: Richtig ist immer F(b) - F(a). Mit F(a) - F(b) bekommst du das Ergebnis mit falschem Vorzeichen. Den Integranden statt der Stammfunktion auswerten: Die Formel lautet nicht f(b) - f(a). Du bestimmst zuerst eine Stammfunktion F. Die Stammfunktion nicht prüfen: Eine kurze Ableitungsprobe verhindert viele Fehler. Für F(x) = \frac{x^3}{3} ergibt sie tatsächlich F'(x) = x^2. Und warum lässt du die Konstante weg? Alle Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante C. In der Differenz hebt sie sich auf.
Beispiel: Die Konstante fällt weg
- 1Stammfunktion mit Konstante: F(x) + C
- 2(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)
- 3Beim bestimmten Integral musst du C deshalb nicht mitschreiben.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Stammfunktion
eine Funktion F mit F'(x) = f(x)
Erster Teil
A(x) = \int_a^x f(t) \, dt hat die Ableitung A'(x) = f(x)
Zweiter Teil
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
Rechenweg
Stammfunktion finden, durch Ableiten prüfen, Grenzen einsetzen
Reihenfolge
obere minus untere Grenze
Konstante
C hebt sich in der Differenz auf
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\int_1^2 (3x^2 + 2x) \, dx berechnen
- 1Stammfunktion: F(x) = x^3 + x^2
- 2Probe: F'(x) = 3x^2 + 2x
- 3F(2) = 8 + 4 = 12 und F(1) = 1 + 1 = 2
- 4\int_1^2 (3x^2 + 2x) \, dx = F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10
Fehler finden
\int_1^3 4x \, dx berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die Grenzen sind vertauscht. Richtig ist obere minus untere Grenze: F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Integral \int_0^2 x^2 \, dx suchst du zuerst eine . Danach setzt du die obere Grenze ein und ziehst den Wert an der unteren Grenze .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback