Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Körper und Volumen: Formeln sicher anwenden
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Du lernst die Formeln vom Quader bis zur Kugel, rechnest Einheiten um und löst zusammengesetzte Aufgaben.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers, gemessen in Kubikeinheiten wie cm³. Für Prisma und Zylinder gilt V=G\cdot h, für Pyramide und Kegel V=\frac{1}{3}G\cdot h, für die Kugel V=\frac{4}{3}\pi r^3. Ein Quader mit 2 cm, 5 cm und 10 cm Kantenlänge hat 2 · 5 · 10 = 100 cm³.
Geometrische Körper sind dreidimensional: Sie besitzen einen Rauminhalt. Diesen Rauminhalt nennt man Volumen. Du berechnest ihn je nach Körper aus Kantenlängen oder aus Grundfläche und senkrechter Höhe. Das Ergebnis steht immer in einer Kubikeinheit wie \mathrm{cm^3}.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Objekt. Ein Quader hat 6 rechteckige Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: Alle seine Kanten sind gleich lang und alle Flächen sind Quadrate. Andere Körper erkennst du an ihrer Grundform: Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele vieleckige Grundflächen. Ein Zylinder hat zwei gleiche, parallele Kreisflächen. Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und eine Spitze. Ein Kegel hat eine Kreisfläche und eine Spitze. Eine Kugel ist vollständig rund und hat weder Kanten noch Ecken. Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Die Oberfläche O ist dagegen die gesamte äußere Begrenzungsfläche. Du misst sie in Quadrateinheiten wie \mathrm{cm^2}.
Definition
Volumen
Das Volumen V ist der Rauminhalt eines Körpers, also zum Beispiel die Menge Wasser, die in ein Gefäß passt. Es wird in Kubikeinheiten angegeben.
Beispiel: Volumen oder Oberfläche beim Karton?
- 1Volumen: Wie viel passt hinein?
- 2Oberfläche: Wie viel Pappe braucht man für alle Außenseiten?
- 3Das Volumen steht in \mathrm{cm^3}, die Oberfläche in \mathrm{cm^2}.
Teste dich
Bei Prismen und Zylindern gilt das Grundprinzip: V=G\cdot h Dabei ist G die Grundfläche und h die senkrechte Körperhöhe. Senkrecht bedeutet: Grundfläche und Höhe bilden einen Winkel von 90^\circ. Eine schräge Kante darfst du nicht als Höhe einsetzen. Pyramiden und Kegel sind Spitzkörper. Bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe besitzen sie ein Drittel des Volumens des passenden Prismas oder Zylinders: V=\frac{1}{3}G\cdot h Stell dir ein Prisma als Stapel gleicher Grundflächen vor: Jede Schicht erhöht die Höhe, deshalb gilt „Grundfläche mal Höhe“. In der Tabelle sind a, b und h Längen, G ist die Grundfläche, r der Radius und \pi die Kreiszahl.
| Körper | Volumenformel |
|---|---|
| Quader | V=a\cdot b\cdot h |
| Würfel | V=a^3 |
| Prisma | V=G\cdot h |
| Zylinder | V=\pi r^2h |
| Pyramide | V=\frac{1}{3}G\cdot h |
| Kegel | V=\frac{1}{3}\pi r^2h |
| Kugel | V=\frac{4}{3}\pi r^3 |
Beispiel: Dreiecksprisma: a=3\,\mathrm{cm}, h_a=2\,\mathrm{cm}, h=5\,\mathrm{cm}
- 1Grundfläche: G=\frac{1}{2}\cdot 3\,\mathrm{cm}\cdot 2\,\mathrm{cm}=3\,\mathrm{cm^2}
- 2Volumen: V=G\cdot h=3\,\mathrm{cm^2}\cdot 5\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm^3}
Beispiel: Zylinder: r=2\,\mathrm{cm}, h=8\,\mathrm{cm}
- 1V=\pi\cdot(2\,\mathrm{cm})^2\cdot 8\,\mathrm{cm}=32\pi\,\mathrm{cm^3}\approx 100{,}5\,\mathrm{cm^3}
- 2Der Radius wird quadriert, die Höhe nicht.
Teste dich
Bevor du Werte einsetzt, müssen alle Längen dieselbe Einheit haben. Aus 40\,\mathrm{mm} werden zum Beispiel 4\,\mathrm{cm}. Bei Volumeneinheiten wird der Umrechnungsfaktor dreimal verwendet: 1\,\mathrm{dm}=10\,\mathrm{cm}, also 1\,\mathrm{dm^3}=1000\,\mathrm{cm^3}. 1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}, also 1\,\mathrm{m^3}=1.000.000\,\mathrm{cm^3}. 1\,\mathrm{l}=1\,\mathrm{dm^3}.
Beispiel: Quader: 16\,\mathrm{cm} lang, 5\,\mathrm{cm} breit, 6\,\mathrm{cm} hoch
- 1V=16\,\mathrm{cm}\cdot 5\,\mathrm{cm}\cdot 6\,\mathrm{cm}=480\,\mathrm{cm^3}
- 2Umrechnen mit 1000\,\mathrm{cm^3}=1\,\mathrm{dm^3}:
- 3480\,\mathrm{cm^3}=0{,}48\,\mathrm{dm^3}=0{,}48\,\mathrm{l}
- 4Probe: Ein so kleiner Quader fasst weniger als einen Liter. Das passt.
Merke: Prüfe am Ende Körperform, Einheit und Größenordnung. Eine Volumenangabe in \mathrm{cm^2} ist falsch, denn \mathrm{cm^2} ist eine Flächeneinheit.
Teste dich
Gehe bei jeder Aufgabe in fünf Schritten vor: Markiere gegebene und gesuchte Größen. Erkenne den Körper oder zerlege ihn in bekannte Einzelkörper. Vereinheitliche alle Längeneinheiten. Wähle die Formel, setze ein und rechne. Prüfe Einheit, Größenordnung und Bedeutung des Ergebnisses. Bei einem zusammengesetzten Körper addierst du die Volumina der Teilkörper. Bei einem Hohlkörper rechnest du Außenvolumen minus Innenvolumen. Manchmal ist eine Länge gesucht. Dann stellst du die Volumenformel um. Hat ein Würfel das Volumen 125\,\mathrm{cm^3}, gilt a^3=125\,\mathrm{cm^3}. Für die positive Kantenlänge folgt a=5\,\mathrm{cm}.
Beispiel: Materialvolumen eines Rohrs
- 1Außenradius R, Innenradius r, Höhe h: V=\pi R^2h-\pi r^2h=\pi(R^2-r^2)h
- 2Mit R=3\,\mathrm{cm}, r=2\,\mathrm{cm}, h=10\,\mathrm{cm}: V=\pi\cdot(9-4)\cdot 10\,\mathrm{cm^3}=50\pi\,\mathrm{cm^3}\approx 157{,}1\,\mathrm{cm^3}
- 3Nur Außenvolumen minus Innenvolumen ergibt das Materialvolumen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Körper und Volumen
Volumen
Rauminhalt, Einheit zum Beispiel \mathrm{cm^3}
Prisma und Zylinder
V=G\cdot h
Pyramide und Kegel
V=\frac{1}{3}G\cdot h
Kugel
V=\frac{4}{3}\pi r^3
Einheiten
vorher angleichen, 1\,\mathrm{dm^3}=1000\,\mathrm{cm^3}
Zusammengesetzt
Teilkörper addieren, Löcher abziehen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Passt ein halber Liter in ein Glas mit d=8\,\mathrm{cm} und h=12\,\mathrm{cm}?
- 1Radius: r=8\,\mathrm{cm}:2=4\,\mathrm{cm}
- 2V=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2\cdot 12\,\mathrm{cm}=192\pi\,\mathrm{cm^3}\approx 603{,}2\,\mathrm{cm^3}
- 3603{,}2\,\mathrm{cm^3}=0{,}6032\,\mathrm{dm^3}, also etwa 0{,}6\,\mathrm{l}
- 40{,}6\,\mathrm{l} ist mehr als 0{,}5\,\mathrm{l}: Ein halber Liter passt hinein.
Fehler finden
Volumen eines Kegels mit d=6\,\mathrm{cm} und h=5\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Durchmesser wurde als Radius eingesetzt. Richtig ist r=6\,\mathrm{cm}:2=3\,\mathrm{cm}, also V=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\,\mathrm{cm^2}\cdot 5\,\mathrm{cm}=15\pi\,\mathrm{cm^3}\approx 47{,}1\,\mathrm{cm^3}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Prisma nutzt du das Prinzip . Beim Kegel gehört der Faktor zur Formel. Bei einer Kugel wird der Radius mit dem Exponenten verwendet.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback