Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kegelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel von Grundfläche mal Höhe. Du lernst die Formel, rechnest Schritt für Schritt und vermeidest typische Fehler.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Volumen eines Kegels berechnest du mit V = \frac{1}{3} \cdot \pi\cdot r^2 \cdot h. Dabei ist r der Radius der Grundfläche und h die senkrechte Höhe. Ein Kegel fasst genau ein Drittel eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe.
Das Volumen eines Kegels berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe. Für eine kreisförmige Grundfläche lautet die Formel: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h. Auf dieser Seite lernst du, die richtigen Größen auszuwählen, die Formel schrittweise anzuwenden und Ergebnisse im Sachzusammenhang zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche, eine Spitze und eine Mantelfläche. Für sein Volumen brauchst du nur zwei Längen: den Radius r der Grundfläche und die senkrechte Höhe h zwischen Grundfläche und Spitze. Bei einem geraden Kegel liegt die Spitze über dem Mittelpunkt des Grundkreises. Auch bei einem schiefen Kegel gilt dieselbe Volumenformel, solange du die senkrechte Höhe verwendest.
Definition
Radius
Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt des Grundkreises bis zu seinem Rand. Ist der Durchmesser d gegeben, gilt: r = d : 2.
Definition
Senkrechte Höhe
Die Höhe h ist der kürzeste, senkrechte Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze. Sie ist nicht automatisch die schräge Strecke auf der Mantelfläche.
Teste dich
Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis. Ihre Fläche ist: G = \pi \cdot r^2 Das Kegelvolumen ist ein Drittel aus Grundfläche mal Höhe: V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h Setzt du G = \pi \cdot r^2 ein, erhältst du: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h Der Faktor \frac{1}{3} lässt sich durch einen Vergleich verstehen: Ein Kegel besitzt bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders. Drei entsprechende Kegelfüllungen füllen den Zylinder.
Merke: Gleicher Radius und gleiche Höhe: Das Kegelvolumen ist ein Drittel des Zylindervolumens.
Teste dich
Gehe immer gleich vor: Prüfe, dass ein Volumen gesucht ist und Radius und senkrechte Höhe gegeben sind. Notiere die Formel, setze mit Einheiten ein und runde erst am Ende. Das Ergebnis trägt eine kubische Einheit, weil drei Längenfaktoren zusammenkommen: \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm} = \mathrm{cm}^3.
Beispiel: Volumen für r = 5\,\mathrm{cm} und h = 9\,\mathrm{cm}
- 11. Formel: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h
- 22. Einsetzen: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5\,\mathrm{cm})^2 \cdot 9\,\mathrm{cm}
- 33. Ausrechnen: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25\,\mathrm{cm}^2 \cdot 9\,\mathrm{cm} = 75\pi\,\mathrm{cm}^3
- 44. Runden: V \approx 235{,}6\,\mathrm{cm}^3
Teste dich
In Sachaufgaben ist oft der Durchmesser statt des Radius angegeben. Dann brauchst du vor der Volumenberechnung einen zusätzlichen Schritt. Prüfe vor und nach jeder Rechnung vier Punkte: Radius statt Durchmesser: Halbiere einen gegebenen Durchmesser. Senkrechte Höhe: Verwende nicht die schräge Mantellinie. Faktor \frac{1}{3}: Ohne ihn berechnest du das Volumen des Vergleichszylinders. Kubische Einheit: Bei Längen in Zentimetern erhältst du ein Volumen in Kubikzentimetern. Runde möglichst erst am Ende. So vermeidest du, dass sich Rundungsfehler über mehrere Rechenschritte vergrößern.
Beispiel: Füllung für zehn Eiswaffeln
- 1Eine Waffel hat den Durchmesser 5 cm und die Höhe 12 cm.
- 21. Radius: r = 5\,\mathrm{cm} : 2 = 2{,}5\,\mathrm{cm}
- 32. Eine Waffel: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2{,}5\,\mathrm{cm})^2 \cdot 12\,\mathrm{cm} = 25\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 78{,}5\,\mathrm{cm}^3
- 43. Zehn Waffeln: 10 \cdot 25\pi\,\mathrm{cm}^3 = 250\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 785\,\mathrm{cm}^3
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kegel: Volumen
Benötigte Größen
Radius r; senkrechte Höhe h
Grundfläche
G = \pi \cdot r^2
Volumenformel
V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h; V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h
Vergleich
ein Drittel des passenden Zylindervolumens
Kontrolle
Durchmesser halbieren; kubische Einheit verwenden; erst am Ende runden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viel Sand liegt in einem kegelförmigen Haufen?
- 1Der Haufen ist unten 4 m breit und 1,5 m hoch.
- 2Radius: r = 4\,\mathrm{m} : 2 = 2\,\mathrm{m}
- 3V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2\,\mathrm{m})^2 \cdot 1{,}5\,\mathrm{m} = 2\pi\,\mathrm{m}^3
- 4V \approx 6{,}28\,\mathrm{m}^3
- 5Der Haufen enthält gut 6 m³ Sand.
Fehler finden
Volumen eines Kegels mit r = 9\,\mathrm{cm} und h = 5\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Faktor \frac{1}{3} ist verloren gegangen. Richtig ist V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81\,\mathrm{cm}^2 \cdot 5\,\mathrm{cm} = 135\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 424\,\mathrm{cm}^3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Volumen eines Kegels ist des passenden Zylindervolumens. In die Formel gehört der der Grundfläche. Die Höhe misst du von der Grundfläche zur Spitze.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback