Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kosinus: Seiten und Winkel im Dreieck berechnen
Der Kosinus verbindet einen Winkel mit Ankathete und Hypotenuse. Du lernst, damit Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Kosinus eines spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse: \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Damit berechnest du Seiten, etwa b=c\cdot\cos(\alpha), und mit dem Arkuskosinus Winkel. Beispiel: \cos(60^\circ)=\frac12.
Der Kosinus verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit zwei Seiten: seiner Ankathete und der Hypotenuse. Es gilt immer: \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha}{\text{Hypotenuse}} Damit kannst du eine fehlende Seite oder mit der Umkehrfunktion \arccos einen Winkel berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90^\circ. Die Seite gegenüber diesem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite. Für die Ankathete legst du zuerst fest, welchen spitzen Winkel du betrachtest: Sie liegt an diesem Winkel, ist aber nicht die Hypotenuse. Die andere Kathete liegt dem Winkel gegenüber und heißt Gegenkathete. Wechselst du von \alpha zum anderen spitzen Winkel \beta, tauschen Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen. Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich. Vergrößerst du eines, werden alle Seiten mit demselben Faktor multipliziert, und der Faktor kürzt sich im Quotienten weg. Deshalb hat jeder Winkel einen festen Kosinuswert, egal wie groß das Dreieck ist.
Definition
Kosinus
Der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis seiner Ankathete zur Hypotenuse: \cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha}{\text{Hypotenuse}} Der Kosinus ist eine Verhältniszahl und hat deshalb keine Einheit.
Merke: Bestimme zuerst die Hypotenuse und markiere dann den betrachteten Winkel. Erst danach entscheidest du, welche Kathete die Ankathete ist.
Beispiel: Gleicher Winkel, dreimal so großes Dreieck
- 1Dreieck 1: Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm, also \frac{4}{5}=0{,}8
- 2Dreieck 2: Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm, also \frac{12}{15}=0{,}8
- 3Beide haben am betrachteten Winkel denselben Kosinuswert 0,8.
Teste dich
Sind ein spitzer Winkel und die Hypotenuse bekannt, berechnest du die Ankathete. Aus \cos(\alpha)=\frac{b}{c} wird durch Multiplizieren mit c die Formel b=c\cdot\cos(\alpha). Dabei ist b die Ankathete und c die Hypotenuse. Ist dagegen die Ankathete bekannt und die Hypotenuse gesucht, stellst du nach c um: c=\frac{b}{\cos(\alpha)}.
Beispiel: Ankathete bei c=4\,\mathrm{cm} und \alpha=30^\circ
- 1Verhältnis aufschreiben: \cos(30^\circ)=\frac{b}{4\,\mathrm{cm}}
- 2Nach b umstellen: b=4\,\mathrm{cm}\cdot\cos(30^\circ)
- 3Wert einsetzen: b=4\,\mathrm{cm}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\approx3{,}46\,\mathrm{cm}
- 4Probe: 3,46 cm ist kürzer als die Hypotenuse von 4 cm.
Merke: Schreibe zuerst das Seitenverhältnis auf und stelle es danach um. So vermeidest du, Ankathete und Hypotenuse zu vertauschen.
Teste dich
Kennst du Ankathete und Hypotenuse, bildest du zuerst ihr Verhältnis. Danach verwendest du den Arkuskosinus \arccos, die Umkehrung des Kosinus: \alpha=\arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right). Stelle den Taschenrechner auf Gradmaß (DEG). Das Verhältnis muss zwischen 0 und 1 liegen, und das Ergebnis zwischen 0^\circ und 90^\circ passt zu einem spitzen Winkel.
Beispiel: Winkel bei Ankathete 7 cm und Hypotenuse 10 cm
- 1Verhältnis: \cos(\alpha)=\frac{7\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm}}=0{,}7
- 2Arkuskosinus: \alpha=\arccos(0{,}7)\approx45{,}57^\circ
- 3Probe: Der Winkel liegt zwischen 0° und 90°.
Teste dich
Einige Kosinuswerte kommen besonders oft vor. Von 0^\circ bis 90^\circ werden die Werte kleiner: Ein größerer spitzer Winkel hat einen kleineren Kosinus. Das hilft dir bei der Plausibilitätsprüfung. Am Einheitskreis ist der Radius die Hypotenuse mit Länge 1, deshalb gilt \cos(\alpha)=\frac{x_P}{1}=x_P. Sinus und Kosinus sind außerdem durch den trigonometrischen Pythagoras verbunden: \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.
| Winkel \alpha | 0^\circ | 30^\circ | 45^\circ | 60^\circ | 90^\circ |
|---|---|---|---|---|---|
| \cos(\alpha) | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac12 | 0 |
Definition
Einheitskreis
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung und den Radius 1. Trifft der Schenkel eines Winkels \alpha den Kreis im Punkt P(x_P\mid y_P), dann ist die horizontale Koordinate des Punktes der Kosinuswert: x_P=\cos(\alpha)
Beispiel: \cos(\alpha) aus \sin(\alpha)=0{,}28 bei einem spitzen Winkel
- 1\cos^2(\alpha)=1-0{,}28^2=1-0{,}0784=0{,}9216
- 2Der Kosinus eines spitzen Winkels ist positiv.
- 3Also: \cos(\alpha)=\sqrt{0{,}9216}=0{,}96
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kosinus
Seitenverhältnis
Ankathete durch Hypotenuse
Seiten erkennen
Winkel zuerst festlegen
Seite berechnen
Gleichung nach der gesuchten Länge umstellen
Winkel berechnen
Arkuskosinus verwenden
Ähnlichkeit
gleicher Winkel, gleiches Seitenverhältnis
Einheitskreis
Kosinus ist die horizontale Koordinate
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie weit reicht eine 3 m lange Rampe mit 15° Neigungswinkel waagerecht?
- 1Die Rampe ist die Hypotenuse: c=3\,\mathrm{m}.
- 2Die waagerechte Strecke liegt am Winkel 15^\circ: Sie ist die Ankathete b.
- 3Formel: b=c\cdot\cos(\alpha)
- 4Einsetzen: b=3\,\mathrm{m}\cdot\cos(15^\circ)\approx2{,}90\,\mathrm{m}
- 5Probe: 2,90 m ist etwas kürzer als 3 m, das passt zu einem flachen Winkel.
Fehler finden
Ankathete bei c=8\,\mathrm{cm} und \alpha=60^\circ In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beim Umstellen musst du mit c multiplizieren. Richtig ist b=8\,\mathrm{cm}\cdot\cos(60^\circ)=8\,\mathrm{cm}\cdot0{,}5=4\,\mathrm{cm}. 16 cm kann nicht stimmen, weil eine Kathete nie länger als die Hypotenuse ist.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Kosinus ist Ankathete durch . Ist die Hypotenuse bekannt, berechnest du die Ankathete durch mit dem Kosinus. Wird ein spitzer Winkel größer, wird sein Kosinus .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback