Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kegelstumpf berechnen: Volumen und Oberfläche
Ein Kegelstumpf ist ein Kegel ohne Spitze, wie ein Eimer oder Blumentopf. Du berechnest Mantellinie, Volumen, Mantelfläche und Oberfläche.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Kegelstumpf ist der Rest eines Kegels, dessen Spitze parallel zur Grundfläche abgeschnitten wurde. Mit den Radien R und r und der Höhe h gilt V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2). Die Mantellinie ist m = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}, die Mantelfläche A_M = \pi m (R + r).
Ein gerader Kegelstumpf entsteht, wenn du die Spitze eines geraden Kreiskegels parallel zur Grundfläche abschneidest. Für Berechnungen brauchst du meist die beiden Radien R und r sowie die senkrechte Höhe h. Bei Mantel und Oberfläche kommt die schräge Mantellinie m hinzu.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir einen Blumentopf oder Eimer mit unterschiedlich großen, parallelen Kreisflächen vor. Ein solcher Gegenstand lässt sich näherungsweise als gerader Kreiskegelstumpf beschreiben. Wir verwenden einheitlich: R: Radius des größeren Kreises. r: Radius des kleineren Kreises. h: senkrechter Abstand zwischen den Kreisflächen. m: schräge Mantellinie. Dabei gilt R>r. Sind beide Radien gleich, liegt kein eigentlicher Kegelstumpf, sondern ein Zylinder vor.
Definition
Kegelstumpf
Ein gerader Kreiskegelstumpf ist der Teil eines geraden Kreiskegels, der nach einem Schnitt parallel zur Grundfläche übrig bleibt. Er besitzt eine größere Grundfläche, eine kleinere Deckfläche und eine gekrümmte Mantelfläche.
Merke: In die Formeln gehören Radien. Ist ein Durchmesser d gegeben, rechne zuerst r=\frac{d}{2}.
Teste dich
In einem Schnitt durch die Achse erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck. Seine Katheten sind h und R-r; seine Hypotenuse ist m. Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras: m^2=h^2+(R-r)^2 Ist die Mantellinie gesucht, verwendest du: m=\sqrt{h^2+(R-r)^2} Ist stattdessen die senkrechte Höhe gesucht, gilt: h=\sqrt{m^2-(R-r)^2}
Beispiel: Mantellinie für R = 10\,\mathrm{cm}, r = 4\,\mathrm{cm} und h = 8\,\mathrm{cm}
- 1R-r=10\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm}
- 2m=\sqrt{(8\,\mathrm{cm})^2+(6\,\mathrm{cm})^2}
- 3m=\sqrt{64\,\mathrm{cm^2}+36\,\mathrm{cm^2}}=\sqrt{100\,\mathrm{cm^2}}=10\,\mathrm{cm}
Teste dich
Das Volumen ist der Rauminhalt des Kegelstumpfs. Die Formel lautet: V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2) Du brauchst dafür R, r und h. Die Mantellinie m wird nicht benötigt. Reale Eimer, Gläser oder Töpfe sind oft keine perfekten Kegelstümpfe. Das berechnete Fassungsvermögen ist dann eine Näherung.
Beispiel: Volumen für R = 12\,\mathrm{cm}, r = 6\,\mathrm{cm} und h = 10\,\mathrm{cm}
- 1Klammer zuerst: R^2+Rr+r^2=12^2+12\cdot6+6^2=144+72+36=252
- 2V=\frac{\pi\cdot10}{3}\cdot252\,\mathrm{cm^3}=840\pi\,\mathrm{cm^3}
- 3V\approx2638{,}94\,\mathrm{cm^3}
Beispiel: Fassungsvermögen eines Papierkorbs
- 1Die Kreise haben die Durchmesser 46 cm und 30 cm, die Höhe ist 50 cm.
- 2Radien: R = 23\,\mathrm{cm}, r = 15\,\mathrm{cm}
- 3V=\frac{\pi}{3}\cdot50(23^2+23\cdot15+15^2)\,\mathrm{cm^3}
- 4V=\frac{\pi}{3}\cdot50(529+345+225)\,\mathrm{cm^3}
- 5V=\frac{54\,950\pi}{3}\,\mathrm{cm^3}\approx57\,544\,\mathrm{cm^3}
- 6Wegen 1000\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{l} fasst der Papierkorb etwa 57,5 Liter.
Merke: Beim Volumen werden drei Längen miteinander verrechnet. Deshalb erhält das Ergebnis eine kubische Einheit, zum Beispiel \mathrm{cm^3}.
Teste dich
Notiere zuerst die gegebenen Größen mit Einheiten und halbiere Durchmesser. Die beiden Kreisflächen sind: A_G=\pi R^2 A_D=\pi r^2 Für die gekrümmte Mantelfläche gilt: A_M=\pi m(R+r) Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche: O=A_G+A_D+A_M Zusammengefasst erhältst du: O=\pi\left(R^2+r^2+m(R+r)\right) Achte auf die Aufgabenformulierung: Soll nur die Seitenwand beklebt werden, brauchst du die Mantelfläche A_M. Soll der gesamte geschlossene Körper betrachtet werden, gehören beide Kreisflächen dazu.
Beispiel: Oberfläche für R = 10\,\mathrm{cm}, r = 4\,\mathrm{cm} und m = 10\,\mathrm{cm}
- 1O=\pi\left(10^2+4^2+10(10+4)\right)\,\mathrm{cm^2}
- 2O=\pi(100+16+140)\,\mathrm{cm^2}=256\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3O\approx804{,}25\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kegelstumpf
Größen
R, r, h, m
Mantellinie
Pythagoras mit h und R-r
Volumen
beide Radien und senkrechte Höhe
Mantelfläche
beide Radien und Mantellinie
Oberfläche
zwei Kreisflächen plus Mantelfläche
Sachaufgaben
Durchmesser halbieren und Einheit prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viel Erde passt in einen Blumentopf?
- 1Der Topf ist 12 cm hoch, oben 16 cm und unten 10 cm breit.
- 2Radien: R = 16\,\mathrm{cm} : 2 = 8\,\mathrm{cm}, r = 10\,\mathrm{cm} : 2 = 5\,\mathrm{cm}
- 3Klammer: 8^2 + 8 \cdot 5 + 5^2 = 64 + 40 + 25 = 129
- 4V = \frac{\pi \cdot 12}{3} \cdot 129\,\mathrm{cm^3} = 516\pi\,\mathrm{cm^3}
- 5V \approx 1621\,\mathrm{cm^3}, also etwa 1,6 Liter Erde.
Fehler finden
Volumen eines Eimers mit den Durchmessern 20 cm und 12 cm und der Höhe 9 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Hier stehen die Durchmesser statt der Radien. Richtig sind R = 10\,\mathrm{cm} und r = 6\,\mathrm{cm}, also V = 3\pi \cdot (100 + 60 + 36)\,\mathrm{cm^3} = 588\pi\,\mathrm{cm^3} \approx 1847\,\mathrm{cm^3}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die schräge Strecke am Mantel heißt . Für das Volumen brauchst du die beiden Radien und die Höhe. Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisflächen und der .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback