Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kosinussatz: Seiten und Winkel richtig berechnen
Mit dem Kosinussatz rechnest du in jedem Dreieck. Du lernst, die passende Form zu wählen und damit Seiten und Winkel zu berechnen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Kosinussatz lautet c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma und gilt in jedem Dreieck. Links steht die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt. Mit ihm berechnest du die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder einen Winkel aus drei Seiten.
Mit dem Kosinussatz berechnest du in einem beliebigen Dreieck eine fehlende Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Sind alle drei Seiten bekannt, kannst du damit auch einen Winkel bestimmen. Entscheidend ist: Die Seite auf der linken Seite der Formel liegt dem verwendeten Winkel gegenüber.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In einem Dreieck liegt die Seite a dem Winkel \alpha gegenüber. Entsprechend gehören b und \beta sowie c und \gamma zusammen. So findest du die richtige Form: Suche den gegebenen oder gesuchten Winkel. Bestimme die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt. Setze diese Seite links ein. Rechts stehen die beiden Seiten, die den Winkel einschließen.
Definition
Kosinussatz
Für jedes Dreieck gelten drei gleichwertige Formen: a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
Merke: Winkel und Gegenseite bilden ein Paar: \alpha\leftrightarrow a, \beta\leftrightarrow b, \gamma\leftrightarrow c.
Teste dich
Kennst du zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, gehst du in vier Schritten vor: Wähle die Form mit der gesuchten Seite links. Setze die beiden Seiten und den eingeschlossenen Winkel ein. Berechne zuerst das Seitenquadrat. Ziehe dann die positive Quadratwurzel, denn eine Seitenlänge ist positiv. Prüfe zum Schluss: Jede Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen. Liegt der bekannte Winkel nicht zwischen den bekannten Seiten, ist häufig der Sinussatz passender.
Beispiel: Direkte Verbindung zwischen zwei Straßenenden
- 1Zwei Straßen sind 30\,\mathrm{km} und 20\,\mathrm{km} lang und schließen 60^\circ ein.
- 2Der gesuchten Seite x liegt der Winkel 60^\circ gegenüber.
- 3x^2=30^2+20^2-2\cdot30\cdot20\cdot\cos(60^\circ)
- 4x^2=900+400-600=700
- 5x=\sqrt{700}\approx26{,}5\,\mathrm{km}
- 6Probe: 26{,}5\,\mathrm{km} ist kürzer als 30\,\mathrm{km}+20\,\mathrm{km}=50\,\mathrm{km}
| Fehler | So vermeidest du ihn |
|---|---|
| Falsches Seite-Winkel-Paar | Zuerst die Gegenseite des Winkels suchen |
| Winkel nicht eingeschlossen | Prüfen, ob der Sinussatz passt |
| Wurzel vergessen | Die Formel liefert zuerst das Quadrat der Seite |
| Zu früh gerundet | Erst das Endergebnis runden |
| Keine Probe | Jede Seite ist kürzer als die Summe der anderen |
Teste dich
Sind a, b und c bekannt, stellst du den Kosinussatz nach dem Kosinus des gesuchten Winkels um. Für \alpha erhältst du: \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} Danach verwendest du die Umkehrfunktion des Kosinus: \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) Auf dem Taschenrechner heißt diese Funktion oft acos oder cos⁻¹. Stelle den Winkelmodus auf Grad ein.
Beispiel: Winkel im Dreieck mit a=b=c=6\,\mathrm{cm}
- 1\cos\alpha=\frac{6^2+6^2-6^2}{2\cdot6\cdot6}=\frac{36}{72}=\frac12
- 2\alpha=\cos^{-1}\left(\frac12\right)=60^\circ
- 3Das passt: Bei drei gleich langen Seiten sind auch die drei Winkel gleich groß und ergeben zusammen 180^\circ.
Merke: Stelle den Taschenrechner auf Grad (DEG). Ein positiver Kosinuswert gehört zu einem spitzen Winkel, ein negativer zu einem stumpfen.
Teste dich
Der Kosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras um den Term -2ab\cos\gamma. Dieser Term berücksichtigt, wie weit der Winkel \gamma von einem rechten Winkel abweicht. Die Herleitung unten nutzt eine Höhe und zeigt den Rechenweg für ein spitzwinkliges Dreieck. Der Kosinussatz selbst gilt für jedes Dreieck, also auch für stumpfwinklige.
Beispiel: Herleitung für ein spitzwinkliges Dreieck
- 1Die Höhe h_b zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
- 2Höhe und Teilstrecke: h_b=a\sin\gamma und d=b-a\cos\gamma
- 3Pythagoras: c^2=h_b^2+d^2
- 4Einsetzen: c^2=a^2\sin^2\gamma+b^2-2ab\cos\gamma+a^2\cos^2\gamma
- 5Mit \sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1: c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
Merke: Für \gamma=90^\circ ist \cos(90^\circ)=0. Der Korrekturterm verschwindet, und es bleibt c^2=a^2+b^2. Der Satz des Pythagoras ist also der rechtwinklige Spezialfall des Kosinussatzes.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kosinussatz
Formelwahl
Winkel und Gegenseite zuordnen; eingeschlossenen Winkel erkennen
Anwendungen
dritte Seite aus zwei Seiten und Winkel; Winkel aus drei Seiten
Kontrolle
Einheit und positive Wurzel; Dreiecksungleichung und Winkelmodus
Zusammenhang
Korrekturterm -2ab\cos\gamma; Pythagoras bei 90^\circ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Größter Winkel im Dreieck mit a=3\,\mathrm{cm}, b=5\,\mathrm{cm}, c=7\,\mathrm{cm}
- 1Der größte Winkel liegt der längsten Seite c gegenüber: Gesucht ist \gamma.
- 2\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
- 3\cos\gamma=\frac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=\frac{-15}{30}=-0{,}5
- 4\gamma=\cos^{-1}(-0{,}5)=120^\circ
- 5Der Kosinus ist negativ, also ist der Winkel stumpf.
Fehler finden
Seite c bei a=5\,\mathrm{cm}, b=8\,\mathrm{cm} und \gamma=60^\circ In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Hier fehlt die Wurzel: 49 ist c^2, nicht c. Richtig ist c=\sqrt{49}\,\mathrm{cm}=7\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Kosinussatz steht links die Seite, die dem Winkel . Für eine fehlende Seite brauchst du zwei Seiten und den Winkel. Bei \gamma=90^\circ wird der Korrekturterm null, und es bleibt der Satz des .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback