Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kegel berechnen: Oberfläche und Volumen
Ein Kegel hat einen Kreis als Boden und eine Spitze. Du lernst Radius, Höhe und Mantellinie kennen und berechnest Oberfläche und Volumen.
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Kurz gesagt
Ein gerader Kreiskegel ist ein Körper mit kreisförmiger Grundfläche, dessen Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt liegt. Radius r, Höhe h und Mantellinie s hängen über r^2 + h^2 = s^2 zusammen. Die Oberfläche ist O = \pi r^2 + \pi r s, das Volumen V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.
Ein gerader Kreiskegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze senkrecht über deren Mittelpunkt. Für seine Berechnung brauchst du vor allem Radius, Höhe und Mantellinie. Auf dieser Seite lernst du, diese Größen zu unterscheiden und Oberfläche sowie Volumen zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Denk an eine Eistüte ohne Eis: Unten liegt ein Kreis, die Seitenfläche läuft in einer Spitze zusammen. Beim geraden Kreiskegel liegt die Spitze genau senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises. Der gekrümmte Teil der Oberfläche heißt Mantelfläche. Schneidet man ihn auf und breitet ihn aus, entsteht ein Kreisausschnitt. Ein schiefer Kegel unterscheidet sich davon: Seine Spitze liegt nicht senkrecht über dem Mittelpunkt. Die Formeln dieser Seite für Mantellinie und Oberfläche beziehen sich auf den geraden Kreiskegel.
Definition
Gerader Kreiskegel
Ein gerader Kreiskegel ist ein räumlicher Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten, entsteht ebenfalls ein gerader Kreiskegel.
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Vier Längen und Flächen tauchen besonders oft auf: Der Radius r führt vom Mittelpunkt zum Rand des Grundkreises. Die Höhe h führt senkrecht von der Spitze zur Grundfläche. Die Mantellinie s verläuft außen von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Die Grundfläche G ist der Kreis am Boden. In einem Schnitt durch Spitze und Mittelpunkt bilden r, h und s ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt: r^2+h^2=s^2 Ist s gesucht, rechnest du: s=\sqrt{r^2+h^2}
Beispiel: Mantellinie für r = 3\,\mathrm{cm} und h = 4\,\mathrm{cm}
- 1Radius und Höhe stehen senkrecht aufeinander: Pythagoras gilt.
- 2s=\sqrt{(3\,\mathrm{cm})^2+(4\,\mathrm{cm})^2}
- 3s=\sqrt{25\,\mathrm{cm^2}}=5\,\mathrm{cm}
- 4Die negative Lösung von s^2 = 25 entfällt, weil eine Länge nie negativ ist.
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Die gesamte Oberfläche O besteht aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M: O=G+M Für den Grundkreis gilt: G=\pi r^2 Die abgewickelte Mantelfläche ist ein Kreisausschnitt mit Radius s. Sein gebogener Rand ist genauso lang wie der Umfang des Grundkreises. Daraus folgt: M=\pi r s Damit erhältst du: O=\pi r^2+\pi r s
Merke: Für die Oberfläche brauchst du die Mantellinie s. Ist nur die Höhe h gegeben, berechnest du zuerst s mit dem Satz des Pythagoras.
Beispiel: Oberfläche für r = 3\,\mathrm{cm} und s = 5\,\mathrm{cm}
- 1G=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm^2}\approx28{,}27\,\mathrm{cm^2}
- 2M=\pi\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=15\pi\,\mathrm{cm^2}\approx47{,}12\,\mathrm{cm^2}
- 3O=G+M=24\pi\,\mathrm{cm^2}\approx75{,}40\,\mathrm{cm^2}
- 4Die Einheit ist cm², weil eine Fläche berechnet wurde.
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Das Volumen beschreibt, wie viel Raum der Kegel einnimmt. Ein Kegel hat ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit derselben Grundfläche und derselben Höhe: V=\frac{1}{3}Gh Mit G=\pi r^2 folgt: V=\frac{1}{3}\pi r^2h Bevor du Zahlen einsetzt, klärst du, was gesucht ist: eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen. So verwechselst du Oberfläche und Volumen nicht. Runde erst am Ende und prüfe, ob die Einheit passt.
Beispiel: Volumen für r = 3\,\mathrm{cm} und h = 4\,\mathrm{cm}
- 1V=\frac{1}{3}\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2\cdot4\,\mathrm{cm}
- 2V=12\pi\,\mathrm{cm^3}\approx37{,}70\,\mathrm{cm^3}
- 3Die Einheit ist cm³, weil ein Volumen berechnet wurde.
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Alles auf einen Blick
Kegel
Aufbau
Grundkreis, Spitze, Radius r, Höhe h, Mantellinie s
Längenbeziehung
r^2+h^2=s^2
Oberfläche
Grundfläche G plus Mantelfläche M
Volumen
ein Drittel von Grundfläche mal Höhe
Kontrolle
passende Formel, Einheit und Plausibilität prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viel Papier braucht ein Partyhut?
- 1Der Hut ist ein Kegelmantel ohne Boden: r = 7\,\mathrm{cm}, h = 24\,\mathrm{cm}.
- 2Mantellinie: s = \sqrt{(7\,\mathrm{cm})^2 + (24\,\mathrm{cm})^2} = 25\,\mathrm{cm}
- 3Mantelfläche: M = \pi \cdot 7\,\mathrm{cm} \cdot 25\,\mathrm{cm} = 175\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4M \approx 549{,}78\,\mathrm{cm^2}
- 5Ohne Klebekante brauchst du etwa 550 cm² Papier. Die Grundfläche fehlt, weil der Hut unten offen ist.
Fehler finden
Oberfläche eines geschlossenen Kegels mit r = 6\,\mathrm{cm} und s = 10\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Ein geschlossener Kegel hat auch eine Grundfläche: G = \pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 36\pi\,\mathrm{cm^2}. Richtig ist O = G + M = 96\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 301{,}59\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Strecke vom Mittelpunkt zum Rand des Grundkreises heißt . Die senkrechte Strecke von der Spitze zur Grundfläche heißt . Außen von der Spitze zum Rand verläuft die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback