Hyperbel: Gleichung, Asymptoten und 1/x

Eine Hyperbel besitzt zwei getrennte, zueinander symmetrische Äste. Beide reichen unbegrenzt weit und nähern sich dabei bestimmten Geraden an, ohne mit ihnen zusammenzufallen. Diese Geraden heißen Asymptoten. Eine Hyperbel kann entstehen, wenn eine Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Deshalb gehört sie zusammen mit Kreis, Ellipse und Parabel zu den Kegelschnitten.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung und verläuft die Hauptachse waagerecht, lautet die Normalform \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a>0,\ b>0 Die Äste gibt es nur für x\leq -a oder x\geq a. Die Punkte (0 \mid b) und (0 \mid -b) liegen nicht auf der Hyperbel, b legt aber die Steigung der Asymptoten fest. Zum Zeichnen markierst du die Scheitel, denkst dir ein Rechteck mit den Ecken (\pm a \mid \pm b) und verlängerst seine Diagonalen zu den Asymptoten. Ob ein Punkt auf der Hyperbel liegt, prüfst du durch Einsetzen. Liegt der Mittelpunkt bei M(x_0 \mid y_0), lautet die Gleichung \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1. Die Scheitel sind dann (x_0-a \mid y_0) und (x_0+a \mid y_0), die Asymptoten y-y_0=\pm\frac{b}{a}(x-x_0).

Die Kehrwertfunktion f(x)=\frac{1}{x} hat eine besondere Hyperbel als Graphen, eine gedrehte gleichseitige Hyperbel. Für x=0 ist sie nicht definiert, weil du nicht durch null teilen kannst. Definitions- und Wertebereich sind alle reellen Zahlen außer 0. Die Asymptoten sind x=0 und y=0, der Mittelpunkt ist (0 \mid 0). Nahe bei x=0 werden die Funktionswerte betragsmäßig sehr groß, für große Beträge von x gehen sie gegen 0. Verschoben und gestreckt hat die Funktionshyperbel die Form g(x)=\frac{A}{x-x_0}+y_0,\qquad A\neq0 Ihr Mittelpunkt ist (x_0 \mid y_0), ihre Asymptoten sind x=x_0 und y=y_0. Für jeden Punkt des Graphen gilt (x-x_0)(y-y_0)=A.

Zwei positive Größen sind antiproportional, wenn ihr Produkt konstant bleibt. Wird die eine doppelt so groß, wird die andere halb so groß. Ein Rechteck mit dem festen Flächeninhalt 24\,\text{cm}^2 erfüllt l\cdot b=24\,\text{cm}^2, also b=\frac{24\,\text{cm}^2}{l}. Verdoppelst du die Länge von 4\,\text{cm} auf 8\,\text{cm}, halbiert sich die Breite von 6\,\text{cm} auf 3\,\text{cm}. Das Produkt bleibt 24\,\text{cm}^2. Weil Seitenlängen positiv sind, nutzt das Modell nur den Ast mit l>0 und b>0, obwohl der Graph von y=\frac{24}{x} zwei Äste hat. Mehr dazu findest du unter Antiproportionale Zuordnung.