Kombination in der Kombinatorik einfach erklärt

Stell dir vor, vier Personen bilden aus einer Klasse eine Projektgruppe. Ob du die Mitglieder als Anna–Ben–Cem–Dora oder Dora–Cem–Ben–Anna aufzählst, ändert die Gruppe nicht. Die Reihenfolge ist also unwichtig: Es handelt sich um eine Kombination. So grenzt du die drei Grundfälle ab: Permutation: Alle fest vorgegebenen Objekte werden angeordnet. Variation: Du triffst eine Auswahl, bei der die Reihenfolge zählt. Kombination: Du triffst eine Auswahl, bei der die Reihenfolge nicht zählt.

Bei einer Kombination ohne Wiederholung wählst du k verschiedene Objekte aus insgesamt n Objekten. Jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen und es gilt 0 \leq k \leq n. Die Anzahl ist der Binomialkoeffizient: \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} Gesprochen wird das als „n über k“. Dabei bedeutet n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1 und heißt Fakultät von n. Warum wird durch k! geteilt? Eine geordnete Auswahl zählt dieselbe Gruppe in allen möglichen Reihenfolgen. Für k verschiedene ausgewählte Objekte sind das k! Reihenfolgen. Bei einer Kombination sollen diese Reihenfolgen nur als eine Gruppe zählen.

Bei einer Kombination mit Wiederholung ist die Reihenfolge ebenfalls unwichtig. Nun darf dieselbe Sorte aber mehrfach vorkommen. Für n Sorten und insgesamt k ausgewählte Objekte gilt: \binom{n+k-1}{k} Du kannst dir die Formel mit Trennstellen vorstellen: k ausgewählte Objekte werden auf n Sorten verteilt. Dafür brauchst du n-1 Trennstellen. Zusammen gibt es also k+n-1 Positionen; du wählst daraus die k Positionen der Objekte. „Wiederholung“ bedeutet hier Mehrfachwahl einer Sorte. Bei einer Urne entspricht das häufig dem Ziehen mit Zurücklegen. Bei Permutationen meint „mit Wiederholung“ dagegen etwas anderes: Dort kommen gleiche Objekte mehrfach vor, etwa zwei gleiche Buchstaben in einem Wort.

Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor: Werden alle fest vorgegebenen Objekte angeordnet? Dann prüfst du eine Permutation statt einer Kombination. Wird nur ausgewählt? Prüfe, ob Vertauschen ein neues Ergebnis erzeugt. Ist die Reihenfolge unwichtig? Dann liegt eine Kombination vor. Darf etwas mehrfach vorkommen? Wähle danach die Formel mit oder ohne Wiederholung. Typische Fehler kannst du so vermeiden: Nicht sofort eine Formel wählen. Kläre zuerst Reihenfolge und Wiederholung. „Auswählen“ bedeutet nicht automatisch Kombination. Werden etwa Gold, Silber und Bronze vergeben, zählt die Reihenfolge. Zurücklegen allein entscheidet nicht. Du musst zusätzlich prüfen, ob geordnete Folgen oder nur Zusammenstellungen gezählt werden. n^k ist keine Kombinationsformel. Damit werden k geordnete Plätze mit jeweils n Möglichkeiten gezählt.