Kombinatorik: Aufgaben systematisch lösen

Wie viele Outfits entstehen aus drei Paar Schuhen, zwei Hosen und vier T-Shirts? Du triffst drei aufeinanderfolgende Entscheidungen. Zu jeder Schuhwahl passen zwei Hosen und zu jeder dieser Kombinationen vier T-Shirts. Zerfällt eine Aufgabe dagegen in Fälle, die sich gegenseitig ausschließen, gilt das Summenprinzip: Du addierst die Anzahlen. Gibt es drei Wege mit dem Bus und vier mit der Bahn, aber keinen Weg, der zu beiden gehört, sind es 3 + 4 = 7 Wege.

Bevor du eine Formel auswählst, klärst du die Struktur der Aufgabe: Werden alle vorhandenen Objekte angeordnet? Dann handelt es sich um eine Permutation. Wird nur ein Teil ausgewählt? Dann prüfst du die Reihenfolge: Mit Reihenfolge ist es eine Variation, ohne Reihenfolge eine Kombination. Darf etwas mehrfach vorkommen? Dann liegt bei einer Auswahl ein Fall mit Wiederholung vor. Dabei bezeichnet n die Zahl der verfügbaren Möglichkeiten und k die Zahl der ausgewählten Objekte oder Stellen. Der Ausdruck „mit Wiederholung“ hat zwei verwandte, aber unterschiedliche Bedeutungen. Bei Auswahlen darf dasselbe Ergebnis mehrfach gewählt werden, etwa durch Zurücklegen einer Kugel. Bei Permutationen sind bereits mehrere gleiche, nicht unterscheidbare Objekte vorhanden. Es wird dort nichts zurückgelegt.

Eine Permutation ist eine Anordnung aller vorhandenen Objekte. Für den ersten Platz gibt es n Möglichkeiten, danach n-1, dann n-2 und so weiter. Sind alle n Objekte unterscheidbar, gibt es n! Permutationen. Sind Objekte innerhalb bestimmter Gruppen nicht unterscheidbar, erzeugt ihr Vertauschen keine neue Anordnung. Bei Gruppengrößen k_1,k_2,\ldots,k_s gilt: \frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_s!}

Wählst du k Objekte aus n Möglichkeiten, entscheidet zuerst die Reihenfolge. Der Binomialkoeffizient „n über k“ ist \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} Warum wird bei einer Kombination ohne Wiederholung durch k! geteilt? Eine ungeordnete Auswahl wurde bei der entsprechenden Variation in allen k! möglichen Reihenfolgen mitgezählt. Eine vollständige Lösung besteht nicht nur aus einer Formel. Halte deine Entscheidung sichtbar fest: Bestimme n und k. Entscheide, ob alle Objekte oder nur k Objekte verwendet werden. Prüfe Reihenfolge und Wiederholung. Wähle Darstellung oder Formel. Berechne und formuliere das Ergebnis im Sachzusammenhang. Prüfe, ob die Anzahl plausibel ist. Die Rechnung „günstige Ergebnisse geteilt durch alle Ergebnisse“ gilt nur, wenn alle betrachteten Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Eine Aufgabenstellung wie „Aus sieben Kugeln werden drei ausgewählt“ reicht noch nicht für eine eindeutige Zahl. Du musst zusätzlich wissen, ob die Reihenfolge zählt und ob zurückgelegt wird.