Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Fakultät berechnen: n! einfach erklärt
Die Fakultät n! multipliziert alle Zahlen von 1 bis n. Du lernst, sie zu berechnen, Reihenfolgen zu zählen und Fakultätsbrüche zu kürzen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Fakultät n! ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n, zum Beispiel 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Sie gibt an, wie viele Reihenfolgen es für n verschiedene Dinge gibt. Außerdem gilt die Festlegung 0! = 1.
Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Du schreibst sie als n! und sprichst „n Fakultät“. Sie zählt zum Beispiel, wie viele Reihenfolgen n verschiedene Bücher im Regal bilden können.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für eine nichtnegative ganze Zahl n gilt: n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n Du multiplizierst also alle positiven ganzen Zahlen bis n. Das Ausrufezeichen steht hinter der Zahl. Fakultäten wachsen schnell: 7! = 5.040, und 10! = 3.628.800.
Definition
Fakultät
Die Fakultät n! ist für ganze Zahlen n \geq 0 definiert. Für n > 0 ist sie das Produkt 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n. Zusätzlich gilt 0! = 1.
Beispiel: 5! berechnen
- 15! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
- 25! = 120
- 3Nicht 5 \cdot 5 und nicht 5 + 4 + 3 + 2 + 1: Das Zeichen ! verlangt die Multiplikation.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
Teste dich
Stell dir vier verschiedene Bücher vor. Für den ersten Platz im Regal hast du vier Möglichkeiten. Danach bleiben drei Bücher für den zweiten Platz, zwei für den dritten und eines für den letzten. Nach dem Produktprinzip multiplizierst du die Anzahlen: 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. Es gibt also 24 verschiedene Reihenfolgen. Das Muster gilt allgemein: Für n verschiedene Objekte gibt es zuerst n Möglichkeiten, danach n - 1, dann n - 2 und so weiter. Daher entstehen insgesamt n! Reihenfolgen.
Definition
Permutation
Eine Permutation ist eine vollständige Anordnung unterscheidbarer Objekte. Ändert sich die Reihenfolge, entsteht eine andere Permutation.
Merke: n! zählt vollständige Reihenfolgen nur dann direkt, wenn die Objekte unterscheidbar sind und jedes genau einmal vorkommt.
Teste dich
Für 0! gilt die Festlegung 0! = 1. Ein Grund ist das leere Produkt: Ein Produkt ohne Faktoren hat den Wert 1, das neutrale Element der Multiplikation. Auch die Anordnungsidee passt dazu: Es gibt genau eine Möglichkeit, kein Objekt anzuordnen. 0! ist also nicht 0. Sonst wäre 1! = 1 \cdot 0! = 0, ein Widerspruch zu 1! = 1. Aus der Produktdarstellung folgt die rekursive Regel n! = n \cdot (n - 1)! für n > 0: Der Wert wird mit der Fakultät der vorherigen Zahl bestimmt. Damit kürzt du Fakultätsbrüche, ohne große Zahlen auszurechnen. Schreibe die größere Fakultät nur so weit aus, bis die kleinere erscheint. So ergibt sich etwa \frac{(n + 1)!}{n!} = n + 1.
Beispiel: Mit der Rekursion rechnen
- 1Aus 4! = 24 folgt 5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120.
- 2Aus 6! = 6 \cdot 5! folgt \frac{6!}{5!} = 6.
Beispiel: \frac{n!}{(n - 2)!} vereinfachen, für n \geq 2
- 1n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!
- 2\frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!}{(n - 2)!}
- 3(n - 2)! kürzen: \frac{n!}{(n - 2)!} = n(n - 1)
- 4Die Bedingung n \geq 2 sorgt dafür, dass (n - 2)! definiert ist.
Merke: Schreibe beim Kürzen die größere Fakultät passend aus. Kürze nur gemeinsame Faktoren, niemals einzelne Summanden.
Teste dich
Eine Fakultät zählt zunächst geordnete Anordnungen. Bei einer ungeordneten Auswahl musst du Reihenfolgen, die dieselbe Auswahl beschreiben, wieder herausrechnen. Wählst du k Objekte aus n verschiedenen aus und spielt die Reihenfolge keine Rolle, verwendest du den Binomialkoeffizienten: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} Spielt die Reihenfolge eine Rolle, etwa bei Platz 1, 2 und 3, teilst du nicht durch k!.
Beispiel: Zwei von fünf Büchern auswählen
- 1Geordnet: 5 \cdot 4 = 20 Möglichkeiten
- 2Jedes Paar wurde doppelt gezählt: „A, dann B“ und „B, dann A“.
- 3Also durch 2! = 2 teilen: \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
- 4Es gibt 10 ungeordnete Auswahlen aus zwei Büchern.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Fakultät
Definition
n! ist das Produkt von 1 bis n
Sonderfall
0! = 1 als leeres Produkt
Rekursion
n! = n \cdot (n - 1)!
Bedeutung
n verschiedene Objekte haben n! Reihenfolgen
Kürzen
größere Fakultät ausschreiben, gemeinsame Faktoren kürzen
Auswahl ohne Reihenfolge
durch die mehrfach gezählten Anordnungen teilen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\frac{8!}{6! \cdot 2!} berechnen
- 1Größere Fakultät ausschreiben: 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!
- 2\frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2!}
- 36! kürzen: \frac{8 \cdot 7}{2!} = \frac{56}{2}
- 4\frac{56}{2} = 28
- 5Das ist \binom{8}{2}: So viele Paare kannst du aus 8 Personen bilden.
Fehler finden
\frac{10!}{8!} berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Fakultäten kürzt man nicht durch Subtrahieren. Schreibe 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8! aus, dann kürzt sich 8!: \frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Nach der Rekursion ist 6! gleich mal 5!. Deshalb ergibt \frac{6!}{5!} genau . Für die Fakultät der Null gilt: 0! ist .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback