Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Flächeninhalt eines Kreises berechnen
Die Kreisfläche berechnest du mit A = π · r². Du lernst, mit Radius oder Durchmesser zu rechnen, den Radius zurückzurechnen und Kreisringe zu bestimmen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Fläche eines Kreises berechnest du mit A = \pi r^2: Radius quadrieren, dann mit \pi multiplizieren. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst. Ein Kreis mit r = 3\,\mathrm{cm} hat A = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2.
Wie viel Pizza bekommst du, wie viel Platz braucht ein runder Tisch? Den Flächeninhalt eines Kreises berechnest du mit A = \pi r^2. Du quadrierst also den Radius und multiplizierst das Ergebnis mit der Kreiszahl \pi.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Radius r ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser d verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2r. Der Flächeninhalt A beschreibt, wie groß die gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie ist. Deshalb wird er in Quadrateinheiten wie \mathrm{cm}^2 oder \mathrm{m}^2 angegeben. Es gilt A = \pi r^2 Gehe in vier Schritten vor: Notiere die Formel. Setze den Radius mit seiner Einheit ein. Quadriere den Radius einschließlich der Einheit. Multipliziere mit \pi und runde erst am Ende.
Definition
Kreiszahl π
Die Kreiszahl \pi ist eine feste mathematische Zahl. Für Überschlagsrechnungen kannst du \pi \approx 3{,}14 verwenden. Genauer wird das Ergebnis mit der \pi-Taste des Taschenrechners.
Beispiel: Kreis mit dem Radius r = 3\,\mathrm{cm}
- 1A = \pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^2
- 2Radius quadrieren: (3\,\mathrm{cm})^2 = 9\,\mathrm{cm}^2
- 3A = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2
Merke: Quadriere immer den Radius, nicht den Durchmesser. Eine Kreisfläche erhält eine quadratische Einheit wie \mathrm{cm}^2. Prüfe am Ende drei Dinge: Hast du wirklich den Radius eingesetzt, ihn quadriert und eine Flächeneinheit angegeben?
Teste dich
Ist der Durchmesser gegeben, darfst du ihn nicht direkt als Radius einsetzen. Halbiere ihn zuerst: r = \frac{d}{2}. Danach verwendest du wie gewohnt A = \pi r^2. Beide Schritte lassen sich auch in einer Formel zusammenfassen: A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2
Beispiel: Runder Tisch mit dem Durchmesser d = 8\,\mathrm{dm}
- 1Radius: r = \frac{8\,\mathrm{dm}}{2} = 4\,\mathrm{dm}
- 2A = \pi \cdot (4\,\mathrm{dm})^2 = 16\pi\,\mathrm{dm}^2
- 3A \approx 50{,}27\,\mathrm{dm}^2
Teste dich
Manchmal kennst du die Fläche und suchst den Radius. Stelle dann die Flächenformel A = \pi r^2 um. Teile zuerst durch \pi: r^2 = \frac{A}{\pi}. Ziehe anschließend die Quadratwurzel: r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} Für eine geometrische Länge verwendest du die positive Lösung.
Beispiel: Kreisfläche A = 45\,\mathrm{cm}^2
- 1r = \sqrt{\frac{45\,\mathrm{cm}^2}{\pi}} \approx 3{,}78\,\mathrm{cm}
- 2Probe: \pi \cdot (3{,}78\,\mathrm{cm})^2 \approx 44{,}89\,\mathrm{cm}^2
- 3Die kleine Abweichung zu 45 cm² entsteht, weil der Radius auf zwei Nachkommastellen gerundet wurde.
Teste dich
Ein Kreisring entsteht, wenn aus einer großen Kreisfläche eine kleinere Kreisfläche mit demselben Mittelpunkt entfernt wird. r_a bezeichnet den Außenradius und r_i den Innenradius. Du ziehst die kleine Fläche von der großen ab: A_{\text{Ring}} = \pi r_a^2 - \pi r_i^2. Zusammengefasst lautet die Formel: A_{\text{Ring}} = \pi (r_a^2 - r_i^2)
Beispiel: Kreisring mit r_a = 4\,\mathrm{cm} und r_i = 2\,\mathrm{cm}
- 1A_{\text{Ring}} = \pi \left((4\,\mathrm{cm})^2 - (2\,\mathrm{cm})^2\right)
- 2A_{\text{Ring}} = \pi (16 - 4)\,\mathrm{cm}^2 = 12\pi\,\mathrm{cm}^2
- 3A_{\text{Ring}} \approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^2
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt Kreis
Radius gegeben
A = \pi r^2
Durchmesser gegeben
zuerst r = d : 2
Fläche gegeben
r = \sqrt{A / \pi}
Einheit
immer eine Quadrateinheit wie cm²
Kreisring
äußere Fläche minus innere Fläche
Kontrolle
Einheit und Größenordnung prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie groß ist eine Pizza mit 30 cm Durchmesser?
- 1Radius: r = 30\,\mathrm{cm} : 2 = 15\,\mathrm{cm}
- 2A = \pi \cdot (15\,\mathrm{cm})^2
- 3A = 225\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 706{,}86\,\mathrm{cm}^2
- 4Die Pizza ist ungefähr 707 cm² groß.
Fehler finden
Kreis mit dem Durchmesser d = 12\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Eingesetzt wurde der Durchmesser. Erst halbieren: r = 6\,\mathrm{cm}. Dann ist A = \pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 36\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 113{,}10\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Kreisfläche quadrierst du den . Ist der Durchmesser gegeben, du ihn zuerst. Beim Kreisring wird die innere Kreisfläche .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback