Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Einheitskreis: Sinus, Cosinus und Tangens ablesen
Am Einheitskreis liest du Sinus und Cosinus als Koordinaten ab. Du lernst wichtige Winkelwerte, die Vorzeichen und die Grenzen des Tangens kennen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1. Zu jedem Winkel \alpha gehört ein Punkt P(\cos\alpha \mid \sin\alpha) auf dem Kreis: Die x-Koordinate ist der Cosinus, die y-Koordinate der Sinus. Der Tangens ist \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, sofern \cos\alpha \neq 0 ist.
Ein Riesenrad dreht sich, und deine Gondel ist mal rechts, mal oben, mal links. Wie hoch du gerade bist, hängt nur vom Drehwinkel ab. Genau das beschreibt der Einheitskreis: Er macht aus einem Winkel einen Punkt, und dessen Koordinaten sind Cosinus und Sinus. Hier lernst du, wie du die Werte abliest, welche Vorzeichen sie haben und wann der Tangens nicht existiert.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir ein Koordinatensystem mit einem Kreis um den Ursprung O(0 \mid 0) vor. Sein Radius ist genau 1. Jeder Punkt P(x \mid y) auf der Kreislinie hat also den Abstand 1 vom Ursprung. Die Kreisgleichung folgt aus dem Satz des Pythagoras: Die waagerechte und die senkrechte Strecke haben die Längen |x| und |y|, der Radius ist die Hypotenuse mit der Länge 1.
Definition
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. Für jeden Punkt P(x \mid y) auf seiner Kreislinie gilt x^2 + y^2 = 1.
Beispiel: Liegt der Punkt auf dem Einheitskreis?
- 1(-1 \mid 0): (-1)^2 + 0^2 = 1, liegt darauf
- 2(1 \mid 1): 1^2 + 1^2 = 2, liegt nicht darauf
Teste dich
Der Winkel \alpha hat seinen Scheitel im Ursprung. Ein Schenkel liegt auf der positiven x-Achse, der andere trifft den Kreis im Punkt P. Fällst du von P das Lot auf die x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Dort gilt \sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} und \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}. Am Einheitskreis ist die Hypotenuse der Radius und damit 1. Deshalb wird aus dem Seitenverhältnis direkt eine Koordinate: \cos\alpha = x und \sin\alpha = y. Das gilt auch außerhalb des ersten Quadranten. Liegt der Punkt links vom Ursprung, ist die x-Koordinate und damit der Cosinus negativ. Liegt er unterhalb der x-Achse, ist der Sinus negativ.
Merke: Zum Winkel \alpha gehört der Kreispunkt P(\cos\alpha \mid \sin\alpha). Cosinus zuerst: x-Koordinate. Sinus danach: y-Koordinate.
Beispiel: Punkte bei 180° und 225°
- 1Bei 180^\circ liegt der Punkt bei (-1 \mid 0).
- 2Also \cos(180^\circ) = -1 und \sin(180^\circ) = 0.
- 3Bei 225^\circ liegt der Punkt links unten.
- 4Beide Werte sind negativ: \sin(225^\circ) = \cos(225^\circ) \approx -0{,}7071.
Teste dich
Für 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ und 90^\circ kannst du die exakten Werte in einem Muster ordnen. Beim Sinus steigen die Werte von 0 bis 1. Beim Cosinus stehen dieselben Werte in umgekehrter Reihenfolge. Die Punkte auf den Achsen liefern zusätzlich: bei 180^\circ ist \sin\alpha = 0 und \cos\alpha = -1, bei 270^\circ ist \sin\alpha = -1 und \cos\alpha = 0, bei 360^\circ ist \sin\alpha = 0 und \cos\alpha = 1.
| \alpha | 0^\circ | 30^\circ | 45^\circ | 60^\circ | 90^\circ |
|---|---|---|---|---|---|
| \sin\alpha | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
| \cos\alpha | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
Beispiel: Der Punkt zu 60°
- 1\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} und \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
- 2Kreispunkt: P\left(\frac{1}{2} \mid \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
- 3Kontrolle: \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
Teste dich
Der Tangens lässt sich aus Sinus und Cosinus berechnen: \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. Damit der Quotient existiert, darf der Nenner nicht 0 sein. Bei 90^\circ und 270^\circ gilt \cos\alpha = 0. Dort ist der Tangens nicht definiert. Geometrisch kann man den Tangens an einer Tangente an den Einheitskreis darstellen. Für das sichere Rechnen zählt aber der Quotient: Prüfe zuerst, ob \cos\alpha gleich 0 ist.
Beispiel: Tangens bei 45° und 90°
- 1\tan(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1
- 2Bei 90^\circ ist \cos(90^\circ) = 0.
- 3Durch 0 kann man nicht teilen, also ist \tan(90^\circ) nicht definiert.
Merke: Der Tangens existiert nur, wenn \cos\alpha \neq 0 ist. Ein Sinus von 0 ist dagegen kein Problem: Dann ist der Tangens einfach 0.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Einheitskreis
Aufbau
Mittelpunkt im Ursprung, Radius 1, x^2 + y^2 = 1
Kreispunkt
P(\cos\alpha \mid \sin\alpha)
Cosinus und Sinus
x-Koordinate und y-Koordinate
Vorzeichen
links Cosinus negativ, unten Sinus negativ
Tangens
Sinus geteilt durch Cosinus
Grenze
kein Tangens bei 90^\circ und 270^\circ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Den Punkt P(0{,}6 \mid 0{,}8) untersuchen
- 1Einsetzen: 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1
- 2P liegt auf dem Einheitskreis.
- 3Ablesen: \cos\alpha = 0{,}6 und \sin\alpha = 0{,}8
- 4Tangens: \tan\alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33
- 5Beide Koordinaten positiv: \alpha liegt zwischen 0^\circ und 90^\circ.
Fehler finden
Den Kreispunkt zum Winkel 30° angeben In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Sinus und Cosinus wurden vertauscht. Die x-Koordinate ist der Cosinus: x = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} und y = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, also P\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \mid \frac{1}{2}\right).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Einheitskreis hat den Radius . Die des Kreispunkts ist der Cosinus. Der Tangens ist nicht definiert, wenn der gleich 0 ist.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback