Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Inverse Matrix berechnen: Formel und Gauß-Jordan
Die inverse Matrix macht die Wirkung einer Matrix rückgängig. Du lernst, wann es sie gibt, wie du sie berechnest und wie du sie prüfst.
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Kurz gesagt
Die inverse Matrix A^{-1} ist die Matrix mit AA^{-1}=A^{-1}A=I. Es gibt sie nur für quadratische Matrizen mit \det(A)\ne0. Für 2\times2-Matrizen gilt A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Größere Matrizen invertierst du mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
Die inverse Matrix A^{-1} macht die Wirkung einer quadratischen Matrix A rückgängig. Sie erfüllt AA^{-1}=A^{-1}A=I. Eine solche Matrix gibt es genau dann, wenn A quadratisch und invertierbar ist. Du lernst, das zu erkennen, die Inverse einer 2\times2-Matrix mit einer Formel und allgemein mit Gauß-Jordan zu berechnen sowie dein Ergebnis zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine quadratische Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist. Ist sie nicht invertierbar, heißt sie singulär. Falls du Determinanten verwendest, gilt das eindeutige Kriterium: \det(A)\ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ ist invertierbar.} Zum Beispiel hat A=\begin{pmatrix}2&-1\\-6&3\end{pmatrix} die Determinante 2\cdot3-(-1)\cdot(-6)=0. Die zweite Zeile ist außerdem das (-3)-Fache der ersten. Die Matrix kann daher keine Inverse besitzen.
Definition
Inverse Matrix
Zu einer quadratischen Matrix A heißt die Matrix A^{-1} inverse Matrix, wenn beide Produkte die Einheitsmatrix ergeben: AA^{-1}=A^{-1}A=I Die Einheitsmatrix I lässt eine Matrix bei der Multiplikation unverändert. Bei zwei Zeilen und zwei Spalten ist I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Merke: Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Prüfe vor einer Formelrechnung den Nenner beziehungsweise die Determinante. Beim Gauß-Jordan-Verfahren erkennst du eine singuläre Matrix daran, dass sich links keine Einheitsmatrix erzeugen lässt.
Teste dich
Für A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} berechnest du zuerst ad-bc. Ist dieser Wert nicht null, gilt: A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} Du vertauschst also a und d, wechselst die Vorzeichen von b und c und teilst alle Einträge durch ad-bc.
Beispiel: Inverse von A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}
- 1Determinante: \det(A)=4\cdot6-7\cdot2=10
- 2Diagonale tauschen, Vorzeichen wechseln: \begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}
- 3Durch 10 teilen: A^{-1}=\frac1{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}
- 4Probe, erste Spalte: 4\cdot0{,}6+7\cdot(-0{,}2)=1 und 2\cdot0{,}6+6\cdot(-0{,}2)=0
- 5Die zweite Spalte ergibt ebenso 0 und 1, also AA^{-1}=I
Merke: Bei 2\times2: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale negieren, durch ad-bc teilen. Ist ad-bc=0, gibt es keine Inverse.
Teste dich
Gauß-Jordan funktioniert für quadratische Matrizen jeder Größe, sofern sie invertierbar sind. Schreibe die Einheitsmatrix rechts neben die Ausgangsmatrix: (A\mid I). Wende jede Zeilenumformung auf die gesamte Zeile an. Forme den linken Block zur Einheitsmatrix um. Lies rechts die Inverse ab: (A\mid I)\longrightarrow(I\mid A^{-1}). Erlaubt sind das Vertauschen zweier Zeilen, das Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich null und das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Warum funktioniert das? Jede Zeilenoperation wirkt links und rechts gleich. Genau die Operationen, die A in I verwandeln, verwandeln den rechten Startblock I in A^{-1}.
Beispiel: Inverse von A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix} mit Gauß-Jordan
- 1Start: \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\2&3&0&1\end{array}\right)
- 2Z_2\leftarrow Z_2-2Z_1: \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-1&-2&1\end{array}\right)
- 3Z_1\leftarrow Z_1+2Z_2: \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-3&2\\0&-1&-2&1\end{array}\right)
- 4Z_2\leftarrow-Z_2: \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-3&2\\0&1&2&-1\end{array}\right)
- 5Links steht I, also A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}
Teste dich
Steht ein Zusammenhang als Ax=b und ist A invertierbar, dann kannst du von links mit A^{-1} multiplizieren: A^{-1}Ax=A^{-1}b \quad\Longrightarrow\quad x=A^{-1}b. Die Formel x=A^{-1}b erklärt den algebraischen Zusammenhang. In numerischen Anwendungen löst man ein einzelnes großes Gleichungssystem meist direkt, statt die Inverse ausdrücklich zu bilden. Bei einem Produkt kehrt sich die Reihenfolge um: (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, denn (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I. Typische Fehler sind: bei der 2\times2-Formel a und d nicht vertauschen, die Vorzeichen von b und c nicht wechseln, durch ad-bc=0 teilen, bei Gauß-Jordan nur eine Seite umformen oder bei (AB)^{-1} die Reihenfolge beibehalten.
Beispiel: Eingaben zurückrechnen
- 1Gegeben: \begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}7\\18\end{pmatrix}
- 2\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=1, also A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}
- 3x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}3\cdot7-1\cdot18\\-5\cdot7+2\cdot18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
- 4Probe: 2\cdot3+1\cdot1=7 und 5\cdot3+3\cdot1=18
| Regel | Bedeutung |
|---|---|
| (A^{-1})^{-1}=A | Die Inverse der Inversen ist wieder A. |
| I^{-1}=I | Die Einheitsmatrix ist ihre eigene Inverse. |
| (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T | Transponieren und Invertieren sind vertauschbar. |
| (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} | Bei Produkten kehrt sich die Reihenfolge um. |
Merke: Drei sichere Kontrollen: Existenz vorab prüfen, jede Gauß-Jordan-Operation auf beide Blöcke anwenden und am Ende AA^{-1}=I oder A^{-1}A=I nachrechnen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Inverse Matrix
Bedeutung
A^{-1} macht die Wirkung von A rückgängig, AA^{-1}=A^{-1}A=I
Existenz
quadratisch und regulär; Determinante ungleich null
Berechnung
2\times2-Formel; Gauß-Jordan mit (A\mid I)
Anwendung
Ax=b wird zu x=A^{-1}b
Kontrolle
Produktprobe ergibt I; bei Produkten Reihenfolge umkehren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Inverse von A=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}
- 1Determinante: \det(A)=3\cdot2-1\cdot4=2, also invertierbar
- 2Diagonale tauschen, Vorzeichen wechseln: \begin{pmatrix}2&-1\\-4&3\end{pmatrix}
- 3Durch 2 teilen: A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-0{,}5\\-2&1{,}5\end{pmatrix}
- 4Probe, erste Spalte: 3\cdot1+1\cdot(-2)=1 und 4\cdot1+2\cdot(-2)=0
- 5Probe, zweite Spalte: 3\cdot(-0{,}5)+1\cdot1{,}5=0 und 4\cdot(-0{,}5)+2\cdot1{,}5=1
Fehler finden
Inverse von A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Vorzeichen von b und c wurden nicht gewechselt. Richtig ist \begin{pmatrix}4&-3\\-1&2\end{pmatrix}, also A^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}4&-3\\-1&2\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine quadratische Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Bei der 2\times2-Formel werden die Einträge der vertauscht. Beim Gauß-Jordan-Verfahren steht am Ende die Inverse im Block.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback