Komplexe Zahlen: Rechnen und Darstellen

Im Bereich der reellen Zahlen kann kein Quadrat negativ sein. Deshalb besitzt x^2=-1 dort keine Lösung. Mit der Festlegung i^2=-1 entsteht ein erweiterter Zahlbereich: die Menge der komplexen Zahlen \mathbb C. Für z=5-3i gilt also \operatorname{Re}(z)=5 und \operatorname{Im}(z)=-3. Ist b=0, dann ist z=a eine reelle Zahl. Ist a=0, nennt man z=bi rein imaginär. Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile jeweils übereinstimmen. Allgemeine komplexe Zahlen lassen sich nicht wie reelle Zahlen mit „größer als“ oder „kleiner als“ ordnen.

Die komplexe Zahl z=a+bi entspricht dem Punkt (a,b) in der gaußschen Zahlenebene: Die waagerechte Achse zeigt den Realteil. Die senkrechte Achse zeigt den Imaginärteil. 3+4i liegt daher beim Punkt (3,4). Der Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt kann zugleich als Vektor aufgefasst werden. Die komplex konjugierte Zahl zu z=a+bi lautet \bar z=a-bi. Beim Konjugieren bleibt der Realteil gleich, während der Imaginärteil sein Vorzeichen wechselt. Geometrisch wird der Punkt an der reellen Achse gespiegelt. Für z=3+4i ist \bar z=3-4i. Außerdem gilt z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.

Für z=a+bi und w=c+di werden Realteil und Imaginärteil getrennt geordnet. Addieren und subtrahieren: z+w=(a+c)+(b+d)i z-w=(a-c)+(b-d)i Multiplizieren: Du multiplizierst wie bei zwei Klammern und ersetzt anschließend i^2 durch -1: zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. Dividieren: Bei der Division soll im Nenner kein Imaginärteil bleiben. Dazu erweiterst du mit der konjugierten Zahl des Nenners. Für w=c+di\ne0 gilt \frac{z}{w}=\frac{z\bar w}{w\bar w}. Der Nenner wird reell, denn w\bar w=c^2+d^2.

Die kartesische Form a+bi zeigt die beiden Koordinaten. Die Polarform beschreibt eine von null verschiedene komplexe Zahl durch ihren Betrag r und einen Winkel \varphi: z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi} Dabei gilt r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}, a=r\cos\varphi und b=r\sin\varphi. Der Winkel \varphi heißt Argument und wird von der positiven reellen Achse aus gemessen. \varphi und \varphi+2\pi k mit ganzem k beschreiben denselben Punkt, für z=0 ist kein Argument bestimmt. Beim Bestimmen von \varphi reicht \arctan(b/a) allein nicht: Prüfe die Vorzeichen von a und b. Für a>0 passt der Arkustangens, für a<0 musst du \pi addieren oder abziehen. Für a=0 ist \varphi=\frac{\pi}{2} bei b>0 und \varphi=-\frac{\pi}{2} bei b<0. In Polarform wird das Multiplizieren übersichtlich: r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}. Die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert, die Zahl wird also gestreckt und gedreht. Beim Dividieren (mit r_2\ne 0) teilst du die Beträge und subtrahierst die Winkel. Nach dem Satz von de Moivre gilt \left(re^{i\varphi}\right)^n=r^ne^{in\varphi}: Du potenzierst den Betrag und multiplizierst den Winkel mit n. Die Potenzen von i wiederholen sich in einem Viererzyklus: i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1. Bei großen Exponenten zählt deshalb der Rest bei Division durch 4, etwa i^7=i^3=-i. Umgekehrt hat w^n=z für z=re^{i\varphi}\ne 0 genau n Lösungen w_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n} mit k=0,1,\ldots,n-1. Sie liegen gleichmäßig auf einem Kreis, ihre Winkel unterscheiden sich um \frac{2\pi}{n}.