Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Hessesche Normalform: Ebenen und Abstände
Die Hessesche Normalform ist eine Ebenengleichung mit einem Normalenvektor der Länge 1. Du lernst, sie aufzustellen und damit Abstände zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Hessesche Normalform ist eine Normalenform \vec n_0 \cdot (\vec x - \vec p) = 0, deren Normalenvektor \vec n_0 die Länge 1 hat. Setzt du einen Punkt ein, ist der Betrag des Ergebnisses sein Abstand zur Ebene. Aus 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0 wird \frac{1}{3}(2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5) = 0.
Die Hessesche Normalform ist eine Normalenform mit einem Normalenvektor der Länge 1. Dadurch kannst du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene direkt berechnen: Du setzt den Punkt ein und bildest den Betrag des Ergebnisses.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf einer Ebene. Seine Richtung legt die Lage der Ebene fest, seine Länge ist zunächst beliebig. Erst wenn er die Länge 1 hat, liefert das Einsetzen eines Punktes direkt einen Abstand. Für einen Normalenvektor \vec n \ne \vec 0 berechnest du die Länge mit \lVert \vec n \rVert = \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}. Dann teilst du jede Komponente durch diese Länge: \vec n_0 = \frac{\vec n}{\lVert \vec n \rVert}. Der neue Vektor \vec n_0 heißt Normaleneinheitsvektor. Er steht weiter senkrecht auf der Ebene, hat aber die Länge 1.
Definition
Hessesche Normalform
Eine Ebene mit dem Stützvektor \vec p liegt in Hessescher Normalform vor, wenn \vec n_0 \cdot (\vec x - \vec p) = 0 gilt und \lVert \vec n_0 \rVert = 1 ist. Der Punkt zwischen zwei Vektoren ist das Skalarprodukt.
Beispiel: Den Vektor (2; −1; −2) normieren
- 1\vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}
- 2\lVert \vec n \rVert = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3
- 3\vec n_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}
- 4Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge wird 1.
Teste dich
Liegt die Ebene schon als Normalenform \vec n \cdot (\vec x - \vec p) = 0 vor, normierst du nur den Normalenvektor. Der Stützvektor \vec p bleibt, wie er ist. Bei einer Koordinatenform ax_1 + bx_2 + cx_3 + e = 0 bilden die Koeffizienten a, b und c den Normalenvektor. Dann teilst du die gesamte linke Seite durch seine Länge: \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3 + e}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 0. Einen Stützpunkt brauchst du dafür nicht.
Beispiel: Aus der Normalenform
- 1E: \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = 0
- 2Länge: \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3
- 3E: \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = 0
Beispiel: Aus der Koordinatenform
- 1E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0
- 2Normalenvektor (2; -1; -2) mit der Länge 3
- 3E: \frac{1}{3}(2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5) = 0
- 4Auch die Konstante −5 wird durch 3 geteilt.
Merke: Normiere die ganze Gleichung: in der Normalenform den Normalenvektor, in der Koordinatenform alle Summanden samt Konstante.
Teste dich
Sei Q ein Punkt mit dem Ortsvektor \vec q. Für eine Ebene in Hessescher Normalform gilt d(Q,E) = \left| \vec n_0 \cdot (\vec q - \vec p) \right|. Bei einer normierten Koordinatenform setzt du die Koordinaten des Punktes einfach für x_1, x_2 und x_3 ein. Die Betragsstriche sind wichtig: Ein Abstand ist nie negativ. Weitere Wege, etwa über den Lotfußpunkt, findest du bei „Abstand Punkt–Ebene“.
Beispiel: Abstand von P(2 | 1 | 2) zur Ebene
- 1E: \frac{1}{3}(2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5) = 0
- 2Einsetzen: \frac{1}{3}(2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5) = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2
- 3Betrag: d(P,E) = |-2| = 2
- 4Der Punkt ist 2 Längeneinheiten von der Ebene entfernt.
Merke: Erst normieren, dann einsetzen, zuletzt den Betrag bilden.
Teste dich
Ohne Betragsstriche erhältst du den vorzeichenbehafteten Abstand s = \vec n_0 \cdot (\vec q - \vec p). Sein Vorzeichen zeigt, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Bei s > 0 liegt er auf der Seite, in die \vec n_0 zeigt. Bei s = 0 liegt er auf der Ebene. Bei s < 0 liegt er auf der gegenüberliegenden Seite. Zu jeder Ebene gibt es zwei entgegengesetzte Normaleneinheitsvektoren, \vec n_0 und -\vec n_0. Beide beschreiben dieselbe Ebene. Kehrst du \vec n_0 um, wechselt s das Vorzeichen, der Abstand |s| bleibt gleich.
| Wert von s | Lage des Punktes |
|---|---|
| s > 0 | auf der Seite, in die \vec n_0 zeigt |
| s = 0 | auf der Ebene |
| s < 0 | auf der gegenüberliegenden Seite |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Hessesche Normalform
Voraussetzung
Normalenvektor ist nicht der Nullvektor und hat nach dem Normieren die Länge 1
Normieren
den Normalenvektor durch seine Länge teilen
Koordinatenform
die gesamte linke Seite samt Konstante teilen
Punkt einsetzen
Ergebnis 0 heißt, der Punkt liegt auf der Ebene
Vorzeichen
zeigt die Seite relativ zur Richtung von \vec n_0
Betrag
liefert den geometrischen Abstand
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Abstand von P(4 | 3 | 1) zur Ebene x₁ + 2x₂ + 2x₃ − 6 = 0
- 1\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \lVert \vec n \rVert = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3
- 2Hessesche Normalform: E: \frac{1}{3}(x_1 + 2x_2 + 2x_3 - 6) = 0
- 3Einsetzen: \frac{1}{3}(4 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 - 6) = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2
- 4Abstand: d(P,E) = |2| = 2 Längeneinheiten
- 5Da s = 2 > 0 ist, liegt P auf der Seite, in die \vec n_0 zeigt.
Fehler finden
Abstand von P(4 | 0 | 1) zur Ebene 6x₁ + 2x₂ − 3x₃ − 14 = 0 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Konstante −14 wurde nicht durch 7 geteilt. Richtig ist E: \frac{1}{7}(6x_1 + 2x_2 - 3x_3 - 14) = 0. Eingesetzt: \frac{1}{7}(24 + 0 - 3 - 14) = 1, also d(P,E) = 1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Normieren teilst du den Normalenvektor durch seine . In der Koordinatenform teilst du auch die Konstante . Den Abstand liefert der des eingesetzten Ausdrucks.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback