Hypothesentest mit Binomialverteilung

Stell dir vor, eine Partei geht von mindestens 30\,\% Zustimmung für ihren Kandidaten aus. In einer zufälligen Befragung von n=100 Personen stimmen X Personen zu. Die Testgröße X zählt also die Treffer. Unter einer festgelegten Trefferwahrscheinlichkeit p gilt bei unabhängigen Ja-Nein-Versuchen: X\sim B(n,p) Für die Frage „Ist die Zustimmung unter 30\,\% gesunken?“ lauten die Hypothesen: H_0:p\geq 0{,}3 \qquad H_1:p\lt0{,}3 Die Gleichheit gehört zu H_0. Kleine Trefferzahlen sprechen für H_1 und damit gegen H_0.

Der Ablehnungsbereich enthält alle Ergebnisse, bei denen du H_0 verwirfst. Die übrigen bilden den Nichtablehnungsbereich. Man nennt ihn oft Annahmebereich, aber „nicht verwerfen“ ist genauer, denn H_0 wird dadurch nicht bewiesen. Beim linksseitigen Test suchst du die größte ganze Zahl k mit P_{p_0}(X\leq k)\leq\alpha. Dann ist \{0,1,\ldots,k\} der Ablehnungsbereich. Beim rechtsseitigen Test suchst du einen rechten Rand mit P_{p_0}(X\geq k)\leq\alpha, beim beidseitigen Test bekommt jede Seite meist höchstens \frac{\alpha}{2}. Weil die Binomialverteilung diskret ist, triffst du \alpha meist nicht genau: Die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs muss nur höchstens \alpha sein. Bei H_0: p\geq0{,}3 rechnest du mit dem Randwert p_0=0{,}3, denn dort ist das Risiko eines linksseitigen Fehlalarms am größten.

Der p-Wert gibt an, wie wahrscheinlich unter H_0 ein Ergebnis wäre, das mindestens so stark gegen H_0 spricht wie das beobachtete. Die Richtung ist entscheidend: Beim linksseitigen Test zählen der beobachtete Wert und alle kleineren, beim rechtsseitigen der beobachtete Wert und alle größeren. Für X=28 im Zustimmungsbeispiel gilt P_{0{,}3}(X\leq28)\approx0{,}37678. Das ist deutlich größer als \alpha=0{,}05, also wird H_0 nicht verworfen. Das passt zur Entscheidungsregel, denn 28 liegt nicht im Ablehnungsbereich.

Eine Testentscheidung kann falsch sein, weil eine Stichprobe zufällig ungewöhnlich ausfällt. Im Zustimmungsbeispiel heißt Fehler 1. Art: Du meldest einen Rückgang unter 30\,\%, obwohl die Zustimmung mindestens 30\,\% beträgt. Am Randwert ist dieses Risiko hier etwa 4{,}79\,\%, also höchstens 5\,\%. Fehler 2. Art heißt: Du weist keinen Rückgang nach, obwohl die Zustimmung wirklich unter 30\,\% liegt. Dafür brauchst du einen konkreten wahren Wert. Gilt etwa p=0{,}2, ist \beta(0{,}2)=P_{0{,}2}(X\geq23)\approx0{,}26107: Mit etwa 26{,}11\,\% Wahrscheinlichkeit übersieht der Test diesen Rückgang. Ein kleineres \alpha schützt besser vor Fehlern 1. Art, macht bei sonst gleichen Bedingungen aber Fehler 2. Art oft wahrscheinlicher. Ein größerer Stichprobenumfang kann beide Fehlerwahrscheinlichkeiten senken.