Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Funktionsscharen untersuchen: Aufgaben mit Lösungen
Eine Funktionsschar fasst viele Funktionen mit einem Parameter zusammen. Du lernst, Nullstellen, Extrempunkte, Fallunterscheidungen und Ortskurven zu bestimmen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Funktionsschar ist eine Familie von Funktionen, deren Term neben x einen Parameter enthält, etwa f_k(x) = x^2 + k. Jeder Wert von k liefert eine Scharfunktion. Beim Rechnen behandelst du den Parameter wie eine feste Zahl und untersuchst Sonderfälle wie k = 0 getrennt.
Eine Funktionsschar beschreibt viele verwandte Funktionen mit einer einzigen Vorschrift. Neben der Variablen x enthält sie einen Parameter, zum Beispiel k. Für jeden zulässigen Wert von k entsteht eine einzelne Funktion.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei der Schar f_k(x) = x^2 + k ist x die Funktionsvariable und k der Parameter. Setzt du für k verschiedene Zahlen ein, erhältst du einzelne Scharfunktionen. Hier verschiebt k die Normalparabel nach oben oder unten. Beim Rechnen nach x behandelst du k wie eine feste Zahl. So gilt zum Beispiel für f_k(x) = kx^2 die Ableitung f_k'(x) = 2kx.
Definition
Funktionsschar
Eine Funktionsschar ist eine Menge von Funktionen, deren Vorschrift neben der Funktionsvariablen mindestens einen Parameter enthält. Jeder zulässige Parameterwert bestimmt eine einzelne Scharfunktion.
| Parameter | Scharfunktion | Graph |
|---|---|---|
| k = 0 | f_0(x) = x^2 | Normalparabel |
| k = 1 | f_1(x) = x^2 + 1 | um 1 nach oben verschoben |
| k = -2 | f_{-2}(x) = x^2 - 2 | um 2 nach unten verschoben |
Merke: Der Index in f_k(x) zeigt den Parameter an. Abgeleitet wird nach x, dabei bleibt k konstant.
Teste dich
Prüfe vor jeder Rechnung, welche Werte erlaubt sind. Bei f_a(x) = \frac{1}{x - a} würde für x = a der Nenner null. Für jede Scharfunktion musst du deshalb x = a aus dem Definitionsbereich ausschließen. Auch beim Umformen ist Vorsicht nötig: Teilst du durch einen Parameter, musst du den Fall untersuchen, in dem er null ist. Das zeigt die Schar g_a(x) = ax^2 mit g_a'(x) = 2ax und g_a''(x) = 2a. Für a \neq 0 folgt aus 2ax = 0 die Stelle x = 0. Das Vorzeichen von a entscheidet dann über die Art des Extrempunkts. Manche Scharen haben einen gemeinsamen Punkt, durch den alle Graphen verlaufen. Bei f_k(x) = x^2 - kx gilt f_k(0) = 0 für jedes k, also liegt (0 \mid 0) auf allen Scharkurven.
| Fall | g_a(x) = ax^2 | Beispiel |
|---|---|---|
| a > 0 | nach oben geöffnet, Tiefpunkt (0 \mid 0) | a = 4 |
| a < 0 | nach unten geöffnet, Hochpunkt (0 \mid 0) | a = -1 |
| a = 0 | Nullfunktion g_0(x) = 0: die x-Achse, keine Parabel | a = 0 |
Merke: Bevor du durch einen Parameter teilst, prüfe den Fall Parameter = 0 getrennt.
Teste dich
Nullstellen findest du wie bei einer einzelnen Funktion: Setze den Funktionsterm gleich null und behandle den Parameter als Konstante. Bei Extrempunkten gehst du in drei Schritten vor. Erstens löst du f_k'(x) = 0. Zweitens prüfst du mit f_k''(x), ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Drittens setzt du die Stelle in f_k(x) ein und erhältst die y-Koordinate. Die Ergebnisse hängen dann vom Parameter ab.
Beispiel: Nullstellen von f_k(x) = x^2 - 4k^2
- 1Gleich null setzen: x^2 - 4k^2 = 0
- 2| +4k^2: x^2 = 4k^2
- 3Wurzel ziehen: x = \pm 2k
- 4Für k = 3: Nullstellen bei x = -6 und x = 6
- 5Für k = 0: nur eine Nullstelle bei x = 0
Merke: Bleibt der Parameter in einer Bedingung wie f_k''(x) > 0 stehen, entscheidet oft sein Vorzeichen über die Art des Extrempunkts.
Teste dich
Eine Ortskurve verbindet besondere Punkte verschiedener Scharfunktionen, zum Beispiel alle Tiefpunkte. Sie ist nicht einfach ein Graph aus der Schar. Sie beschreibt die Bahn, auf der die ausgewählten Punkte wandern, wenn sich der Parameter ändert. Dazu bestimmst du zuerst die Koordinaten der Punkte abhängig vom Parameter. Dann löst du die x-Koordinate nach dem Parameter auf und setzt das Ergebnis in die y-Koordinate ein. So eliminierst du den Parameter.
Beispiel: Ortskurve der Tiefpunkte von f_k(x) = x^2 - kx
- 1Ableitungen: f_k'(x) = 2x - k und f_k''(x) = 2
- 2Extremstelle: 2x - k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}
- 3Wegen f_k''(x) = 2 > 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
- 4y = f_k\left(\frac{k}{2}\right) = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{4}, also T_k\left(\frac{k}{2} \,\middle|\, -\frac{k^2}{4}\right)
- 5Parameter eliminieren: k = 2x, also y = -\frac{(2x)^2}{4} = -x^2
- 6Ortskurve: y = -x^2
Teste dich
Alles auf einen Blick
Funktionsschar
Parameter
wie eine feste Zahl behandeln, abgeleitet wird nach x
Scharfunktion
entsteht durch Einsetzen eines Parameterwerts
Zulässige Werte
Nenner und Divisionen durch den Parameter prüfen
Fallunterscheidung
das Vorzeichen des Parameters entscheidet oft über Hoch- oder Tiefpunkt
Gemeinsame Punkte
liegen auf jedem Graphen der Schar
Ortskurve
Punktkoordinaten bestimmen, dann den Parameter eliminieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schar h_a(x) = ax^2 + 3a untersuchen
- 1Scharfunktion für a = 2: h_2(x) = 2x^2 + 6
- 2Ableiten nach x, a bleibt konstant: h_a'(x) = 2ax und h_a''(x) = 2a
- 3Der Summand 3a hängt nicht von x ab und fällt beim Ableiten weg.
- 4Für a \neq 0: 2ax = 0 \Rightarrow x = 0, und h_a(0) = 3a
- 5Extrempunkt E_a(0 \mid 3a): Tiefpunkt für a > 0, Hochpunkt für a < 0
- 6Für a = 0: h_0(x) = 0, kein einzelner Extrempunkt
Fehler finden
Extremstellen der Schar g_a(x) = ax^2 - 2ax In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Durch 2a darfst du nur für a \neq 0 teilen. Für a = 0 ist g_0(x) = 0, die Nullfunktion ohne einzelnen Extrempunkt. Richtig: Für a \neq 0 liegt bei x = 1 ein Extrempunkt, für a = 0 nicht.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Ableiten nach x wird der Parameter wie eine behandelt. Für die Ortskurve werden zunächst die abhängig vom Parameter bestimmt. Anschließend wird der Parameter .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback