Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Koordinatenform: Geraden und Ebenen verstehen
Die Koordinatenform beschreibt Geraden und Ebenen mit einer linearen Gleichung. Du lernst Punktprobe, Normalenvektor und Umwandlung.
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Kurz gesagt
Die Koordinatenform einer Ebene lautet ax+by+cz=d, die einer Geraden in der Ebene ax+by=c. Ein Punkt liegt darauf, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Die Koeffizienten bilden einen Normalenvektor: Aus 2x+4y-3z=35 liest du \vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} ab.
Die Koordinatenform beschreibt eine Gerade oder Ebene durch eine einzige lineare Gleichung. Ein Punkt gehört genau dann dazu, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Das macht sie praktisch: Punkte prüfen, Normalenvektor ablesen und besondere Lagen erkennen geht mit einem Blick.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In der Ebene hat eine Gerade die Form ax+by=c. Mindestens einer der Koeffizienten a und b muss ungleich null sein, sonst entsteht keine Gerade. Im dreidimensionalen Raum hat eine Ebene die Form ax+by+cz=d. Hier muss mindestens einer der Koeffizienten a, b und c ungleich null sein.
Definition
Koordinatenform
Die Koordinatenform ist eine Gleichung für die Koordinaten aller Punkte eines geometrischen Objekts. Ein Punkt (x \mid y) liegt auf der Geraden, wenn er ax+by=c erfüllt. Ein Punkt (x \mid y \mid z) liegt auf der Ebene, wenn er ax+by+cz=d erfüllt.
Beispiel: Zwei Punkte der Geraden x+2y=6
- 1A(0 \mid 3): 0+2\cdot3=6
- 2B(4 \mid 1): 4+2\cdot1=6
- 3Beide Punkte erfüllen die Gleichung, sie liegen also auf der Geraden.
Teste dich
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes für die Variablen ein. Danach vergleichst du die berechnete linke Seite mit der rechten Seite. Sind beide gleich, liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene. Sind sie verschieden, liegt er nicht darauf.
Beispiel: Punktprobe mit E: 2x-3y-7z=31
- 1A(1 \mid 2 \mid -2): 2\cdot1-3\cdot2-7\cdot(-2)=2-6+14=10
- 210\neq31, also liegt A nicht auf E.
- 3B(5 \mid 0 \mid -3): 2\cdot5-3\cdot0-7\cdot(-3)=10+0+21=31
- 431=31, also liegt B auf E.
Merke: Bei einer Punktprobe genügt nicht das Einsetzen. Schreibe am Ende ausdrücklich, ob die berechnete Zahl mit der rechten Seite übereinstimmt und was das für den Punkt bedeutet.
Teste dich
Der Vektor aus den Koeffizienten vor den Variablen steht senkrecht auf der Geraden oder Ebene. Er heißt Normalenvektor. Bei ax+by=c ist \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ein Normalenvektor der Geraden, bei ax+by+cz=d ist \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} einer der Ebene. Die Zahl auf der rechten Seite gehört nicht dazu. Die Koeffizienten zeigen auch besondere Lagen: Fehlt eine Variable, weil ihr Koeffizient null ist, hängt die Gleichung nicht von dieser Koordinate ab. Die Ebene verläuft dann parallel zur zugehörigen Achse. Ist die rechte Seite null, liegt der Ursprung auf der Ebene. Wenn die rechte Seite 1 ist und kein Koeffizient null ist, liest du bei ax+by+cz=1 sogar die Achsenschnittpunkte ab: S_x(\frac{1}{a} \mid 0 \mid 0), S_y(0 \mid \frac{1}{b} \mid 0) und S_z(0 \mid 0 \mid \frac{1}{c}).
Beispiel: Normalenvektor von 2x+4y-3z=35
- 1Koeffizienten vor x, y, z: 2, 4, -3
- 2\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}
- 3Die 35 gehört nicht zum Normalenvektor.
| Gleichung | Besonderheit | Lage |
|---|---|---|
| 4y-3z=-5 | kein x-Term (a=0) | parallel zur x-Achse |
| 2x-z=4 | kein y-Term (b=0) | parallel zur y-Achse |
| x+y=3 | kein z-Term (c=0) | parallel zur z-Achse |
| 2x+4y-3z=0 | rechte Seite null | durch den Ursprung |
Teste dich
Aus der Normalenform \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 wird die Koordinatenform, wenn du das Skalarprodukt komponentenweise ausschreibst, die Klammern ausmultiplizierst und die Konstanten nach rechts bringst. Allgemein entsteht n_1x+n_2y+n_3z=n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3. Aus der Parameterform mit Stützpunkt \vec p und den Richtungsvektoren \vec u und \vec v berechnest du zuerst \vec n=\vec u\times\vec v. Prüfe mit zwei Skalarprodukten, dass \vec n auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht. Danach ist d=\vec n\cdot\vec p. Kontrolliere jede Umwandlung, indem du den Stützpunkt einsetzt.
Beispiel: Normalenform mit \vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} und P(8 \mid 4 \mid -1)
- 12(x-8)+4(y-4)-3(z+1)=0
- 22x-16+4y-16-3z-3=0
- 32x+4y-3z=35
- 4Probe mit P: 2\cdot8+4\cdot4-3\cdot(-1)=16+16+3=35
Beispiel: Parameterform mit P(2 \mid 1 \mid 5), \vec u=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec v=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}
- 1Kreuzprodukt: \vec n=\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}
- 2Probe: \vec n\cdot\vec u=-4+4+0=0 und \vec n\cdot\vec v=0-4+4=0
- 3Rechte Seite: d=4\cdot2+4\cdot1+1\cdot5=17
- 4Koordinatenform: 4x+4y+z=17
Teste dich
Alles auf einen Blick
Koordinatenform
Gerade in der Ebene
ax+by=c
Ebene im Raum
ax+by+cz=d
Punktprobe
Koordinaten einsetzen und Gleichheit prüfen
Normalenvektor
Koeffizienten vor den Variablen ablesen
Umwandlung
Normalenform ausmultiplizieren, bei der Parameterform erst das Kreuzprodukt bilden
Besondere Lage
fehlende Koordinate heißt achsenparallel, rechte Seite null heißt durch den Ursprung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ebene durch P(1 \mid 2 \mid 3) mit \vec n=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
- 1Linke Seite aus \vec n: 3x-y+2z
- 2Rechte Seite: d=3\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot3=3-2+6=7
- 3Koordinatenform: 3x-y+2z=7
- 4Punktprobe für Q(2 \mid 1 \mid 1): 3\cdot2-1+2\cdot1=7
- 57=7, also liegt auch Q auf der Ebene.
Fehler finden
Koordinatenform aus \vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} und P(2 \mid 1 \mid -1) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Es gilt 3\cdot(-1)=-3, nicht +3. Richtig ist d=2-2-3=-3, also x-2y+3z=-3. Die Probe mit P ergibt dann -3=-3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Fehlt in einer Ebenengleichung der x-Term, verläuft die Ebene parallel zur . Ist die rechte Seite null, liegt der auf der Ebene. Die Koeffizienten vor den Koordinaten bilden den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback