Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Integration durch Substitution: Anleitung und Beispiele
Mit der Substitution machst du die Kettenregel rückwärts. Du lernst, die innere Funktion zu erkennen, Faktoren auszugleichen und Grenzen umzurechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Integration durch Substitution ist die Kettenregel rückwärts: Steckt im Integranden eine innere Funktion g(x) und steht ihre Ableitung g'(x) als Faktor daneben, setzt du u=g(x) und du=g'(x)\,dx. So wird \int 3x^2e^{x^3}\,dx zu \int e^u\,du=e^{x^3}+C.
Bei der Integration durch Substitution ersetzt du eine geeignete innere Funktion durch eine neue Variable. So machst du die Kettenregel rückwärts: Aus einem verschachtelten Integral wird eine bekannte Grundform.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Suche zuerst nach einer inneren Funktion g(x), die in einer anderen Funktion steckt. Prüfe dann, ob ihre Ableitung g'(x) ebenfalls als Faktor vorkommt, vollständig oder bis auf einen konstanten Faktor. Dafür markierst du einen möglichen inneren Ausdruck, leitest ihn ab und vergleichst die Ableitung mit den übrigen Faktoren. Fehlt nur eine Konstante, kannst du sie ausgleichen.
Definition
Substitutionsregel
Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C. Du setzt u=g(x) und schreibst als Rechenhilfe du=g'(x)\,dx. Die eigentliche Begründung liefert die Kettenregel: (F(g(x)))'=f(g(x))g'(x).
Beispiel: \int x\cos(x^2)\,dx vorbereiten
- 1Innere Funktion: g(x)=x^2, Ableitung g'(x)=2x
- 2Im Integranden steht nur x, also die Hälfte von 2x.
- 3Ausgleichen: \int x\cos(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int 2x\cos(x^2)\,dx
Teste dich
Wähle u=g(x) und bestimme du=g'(x)\,dx. Gleiche einen fehlenden konstanten Faktor aus und schreibe das ganze Integral in u und du um: Es darf kein unerklärtes x übrig bleiben. Dann integrierst du in u, setzt u=g(x) zurück und ergänzt +C. Zum Schluss leitest du zur Kontrolle ab. Eine Substitution ist nicht schon gut, weil du etwas ersetzen kannst. Sie ist gut, wenn danach ein einfacheres Integral vollständig in der neuen Variablen entsteht. Beim Beispiel oben folgt so \frac{1}{2}\int\cos u\,du=\frac{1}{2}\sin(x^2)+C.
Beispiel: \int 3x^2e^{x^3}\,dx
- 1u=x^3 und du=3x^2\,dx
- 2\int e^u\,du=e^u+C
- 3Rücksubstitution: \int 3x^2e^{x^3}\,dx=e^{x^3}+C
- 4Probe: \frac{d}{dx}e^{x^3}=e^{x^3}\cdot3x^2
Merke: du=g'(x)\,dx ist eine nützliche Rechenschreibweise. dx und du sind dabei keine gewöhnlichen Zahlenbrüche. Fachlich abgesichert ist das Verfahren durch die Kettenregel.
Teste dich
Bei \int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx hast du zwei Wege. Neue Grenzen: Du rechnest g(a) und g(b) aus und bleibst danach vollständig in u. Rücksubstitution: Du bestimmst eine Stammfunktion in u, setzt u=g(x) zurück und verwendest erst dann die alten x-Grenzen. Beide Wege liefern dieselbe Zahl.
Beispiel: \int_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}\,dx
- 1u=x^3+1 und du=3x^2\,dx
- 2Neue Grenzen: x=0 \Rightarrow u=1 und x=1 \Rightarrow u=2
- 3\int_1^2\frac{1}{u}\,du=[\ln|u|]_1^2=\ln2
- 4Auf [1,2] ist u>0, also \ln|u|=\ln u.
- 5Zweiter Weg: [\ln(x^3+1)]_0^1=\ln2-\ln1=\ln2
Merke: Mische die Wege nicht: In einem u-Integral stehen keine alten x-Grenzen. Nach einer Rücksubstitution verwendest du dagegen die ursprünglichen x-Grenzen.
Teste dich
Vier Kontrollen fangen die häufigsten Fehler ab. Nach dem Umschreiben stehen nur noch u und du im Integral. Du vergleichst g'(x) genau mit dem vorhandenen Faktor. Du verwendest entweder neue Grenzen oder die Rücksubstitution mit alten Grenzen. Und du leitest die Stammfunktion zur Probe mit der Kettenregel ab. Beim logarithmischen Sonderfall achtest du außerdem auf den Betrag: \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C auf Intervallen, auf denen f(x)\ne0 gilt.
Beispiel: \int\frac{2x}{1+x^2}\,dx
- 1u=1+x^2 und du=2x\,dx
- 2\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C
- 31+x^2 ist für alle x positiv, also: \ln(1+x^2)+C
- 4Probe: (\ln(1+x^2))'=\frac{2x}{1+x^2}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Integration durch Substitution
Erkennen
innere Funktion und ihre Ableitung
Umformen
u=g(x) und du=g'(x)\,dx
Ausgleichen
fehlende konstante Faktoren
Integrieren
vollständig in der neuen Variablen
Abschließen
rücksubstituieren oder Grenzen umrechnen
Prüfen
Kettenregel und Definitionsbereich
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx berechnen
- 1u=x^2+1, also du=2x\,dx
- 2Neue Grenzen: x=0 \Rightarrow u=1 und x=1 \Rightarrow u=2
- 3\int_1^2 u^3\,du=\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2
- 4=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}
- 5Probe mit Rücksubstitution: \left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right]_0^1=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}
Fehler finden
\int (3x+1)^5\,dx berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Aus du=3\,dx folgt dx=\frac{1}{3}\,du, der Faktor \frac{1}{3} fehlt: \frac{1}{3}\int u^5\,du=\frac{u^6}{18}+C=\frac{(3x+1)^6}{18}+C.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei \int 3x^2e^{x^3}\,dx wählst du . Zu u=g(x) gehört . Nach der Rücksubstitution setzt du die Grenzen ein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback