Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Kreuzprodukt berechnen und anwenden
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf zwei Vektoren steht. Du lernst, es zu berechnen, zu prüfen und für Flächen zu nutzen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Kreuzprodukt \vec a \times \vec b zweier Vektoren im Raum ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Du berechnest es zeilenweise, die erste Komponente ist zum Beispiel a_2b_3 - a_3b_2. Sein Betrag ist die Fläche des aufgespannten Parallelogramms.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum ergibt einen neuen Vektor. Er steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Ist er nicht der Nullvektor, kann er als gemeinsamer Normalenvektor verwendet werden. Sein Betrag liefert außerdem den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Verwechsle es nicht mit dem Skalarprodukt: Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl, beim Kreuzprodukt ein Vektor. Das Kreuzprodukt ist nützlich, wenn du einen Vektor brauchst, der zu zwei gegebenen Richtungen senkrecht steht, etwa einen Normalenvektor einer Ebene.
Definition
Kreuzprodukt
Für zwei dreikomponentige Vektoren \vec a und \vec b ist \vec a\times\vec b ein Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Das Kreuzprodukt heißt deshalb auch Vektorprodukt. Ist das Ergebnis nicht der Nullvektor, ist es ein gemeinsamer Normalenvektor.
Merke: Das hier behandelte Kreuzprodukt ist ein Rechenverfahren für Vektoren mit drei Komponenten.
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Für \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} und \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} gilt: \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} Setze in jede Zeile die passenden Komponenten ein, rechne „erstes Produkt minus zweites Produkt“ und schreib die drei Ergebnisse in derselben Reihenfolge als Vektor auf. Achte besonders auf die zweite Zeile: Dort steht a_3b_1 - a_1b_3.
Beispiel: \vec a = (1, 2, 1) und \vec b = (2, 4, 1)
- 1Erste Zeile: 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4 = -2
- 2Zweite Zeile: 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 1
- 3Dritte Zeile: 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0
- 4\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
Merke: Setze negative Zahlen in Klammern. So erkennst du leichter, ob du ein negatives Produkt subtrahierst.
Teste dich
Ein richtiges Kreuzprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Das prüfst du mit zwei Skalarprodukten: Beide müssen null ergeben. Die Reihenfolge der Faktoren bestimmt die Richtung. Vertauschst du sie, erhältst du den Gegenvektor. Die Rechte-Hand-Regel hilft bei der Orientierung: Zeigt der Daumen in Richtung \vec a und der Zeigefinger in Richtung \vec b, zeigt der Mittelfinger in Richtung \vec a \times \vec b. Sind die Vektoren parallel oder ist einer der Nullvektor, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor.
Beispiel: Probe für \vec c = (-2, 1, 0)
- 1\vec a \cdot \vec c = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0
- 2\vec b \cdot \vec c = 2 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0
- 3Beide null: \vec c steht senkrecht auf \vec a und \vec b.
Merke: Vertauschen dreht die Richtung um: \vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a). Für parallele Vektoren gilt \vec a \times \vec b = \vec 0.
Teste dich
Der Betrag des Kreuzprodukts hängt vom eingeschlossenen Winkel \varphi ab: |\vec a \times \vec b| = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\varphi). Genau das ist die Fläche des Parallelogramms, das \vec a und \vec b aufspannen. Für das Dreieck mit denselben Spannvektoren halbierst du sie. Stehen die Vektoren senkrecht, ist die Fläche bei festen Längen am größten, sind sie parallel, ist sie null. Als Normalenvektor darfst du das Ergebnis vereinfachen: Jedes Vielfache mit einem Faktor ungleich null steht ebenfalls senkrecht. Beim Spatprodukt bildest du das Skalarprodukt des Kreuzprodukts mit einem dritten Vektor und erhältst ein Volumen.
Beispiel: Fläche für \vec a = (1, 2, 3) und \vec b = (2, 1, 0)
- 1\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}
- 2|\vec a \times \vec b| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7{,}35
- 3Parallelogramm: etwa 7,35 Flächeneinheiten
- 4Dreieck: \frac{1}{2}\sqrt{54} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67 Flächeneinheiten
| Gesucht | Werkzeug |
|---|---|
| gemeinsamer Normalenvektor | \vec a \times \vec b |
| Probe | \vec a \cdot \vec c = 0 und \vec b \cdot \vec c = 0 |
| Parallelogrammfläche | |\vec a \times \vec b| |
| Dreiecksfläche | \frac{1}{2}|\vec a \times \vec b| |
| Spatvolumen | |(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c| |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreuzprodukt
Berechnung
drei Komponenten mit fester Subtraktionsreihenfolge
Geometrie
gemeinsamer Normalenvektor und orientierte Richtung
Kontrolle
zwei Skalarprodukte ergeben null
Sonderfall
parallele Vektoren ergeben den Nullvektor
Fläche
Betrag für Parallelogramm, halber Betrag für Dreieck
Volumen
Kreuzprodukt im Spatprodukt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Dreieck mit \vec a = (2, 0, 1) und \vec b = (1, 3, 0)
- 1\vec c = \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}
- 2Probe: \vec a \cdot \vec c = -6 + 0 + 6 = 0 und \vec b \cdot \vec c = -3 + 3 + 0 = 0
- 3Betrag: |\vec c| = \sqrt{9 + 1 + 36} = \sqrt{46} \approx 6{,}78
- 4Dreiecksfläche: \frac{1}{2}\sqrt{46} \approx 3{,}39 Flächeneinheiten
Fehler finden
\vec a \times \vec b für \vec a = (1, 0, 2) und \vec b = (3, 1, 1) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die zweite Komponente ist a_3b_1 - a_1b_3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5, nicht a_1b_3 - a_3b_1. Richtig ist \vec a \times \vec b = (-2, 5, 1), die Probe ergibt dann zweimal 0.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein . Vertauschst du die Faktoren, erhältst du den . Sind die Vektoren parallel, entsteht der .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback