Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Konfidenzintervall für Anteile berechnen
Ein Konfidenzintervall grenzt einen unbekannten Anteil ein. Du lernst, es aus einer Stichprobe zu berechnen und richtig zu deuten.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Konfidenzintervall für einen Anteil ist ein Bereich um den Stichprobenanteil h = \frac{X}{n}, der den unbekannten Anteil p eingrenzt. Für 95 % rechnest du h \pm m mit dem Sicherheitsabstand m = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}. Beispiel: 300 von 500 ergibt etwa [0{,}557; 0{,}643].
Ein Konfidenzintervall grenzt eine unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p mithilfe einer Stichprobe ein. Du berechnest zuerst den beobachteten Anteil h und ergänzt dann einen Sicherheitsabstand nach unten und oben. Auf dieser Seite lernst du das normalapproximierte, symmetrische Intervall kennen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Angenommen, du befragst n zufällig ausgewählte Personen. X von ihnen stimmen einer Aussage zu. Dann ist h=\frac{X}{n} der Stichprobenanteil. Er ist die Punktschätzung für den unbekannten Anteil p in der gesamten Grundgesamtheit. Eine andere Stichprobe liefert meist einen anderen Wert für h. Das Intervall macht diese Unsicherheit sichtbar: Ein schmales Intervall schätzt genauer als ein breites. Achte auf den Parameter: Die Formel auf dieser Seite gilt für Anteile. Ein Intervall für einen Mittelwert braucht eine andere Formel mit Mittelwert und Standardabweichung.
Definition
Konfidenzintervall
Ein Konfidenzintervall ist ein aus Stichprobendaten berechneter Bereich für einen unbekannten Parameter. Hier ist der Parameter der Anteil p in der Grundgesamtheit.
Beispiel: 300 von 500 Befragten stimmen zu
- 1h=\frac{300}{500}=0{,}60
- 2Punktschätzung für p: 60\,\%
Teste dich
Für ein zweiseitiges Konfidenzniveau von 95\,\% verwendest du meist den kritischen Wert z=1{,}96. Die übrigen 5\,\% verteilen sich auf beide Seiten der Standardnormalverteilung. Das normalapproximierte Intervall für einen Anteil lautet: \left[h-z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\;\mathbin{;}\;h+z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\right] Der Ausdruck mit der Wurzel ist der Standardfehler. Mal z ergibt er die halbe Intervallbreite, den Sicherheitsabstand m=z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}. Kurz: Intervall =[h-m;h+m]. Setze Prozente als Dezimalzahl ein (60\,\% als 0{,}60) und wandle das Ergebnis am Ende zurück. Achte dabei auf Prozentpunkte: Von 60\,\% auf 64{,}3\,\% sind es 4{,}3 Prozentpunkte, nicht 4{,}3\,\% von 60\,\%. Die Formel ist eine Näherung und braucht eine hinreichend große Stichprobe. Bei sehr wenigen Treffern oder Nichttreffern wird sie unzuverlässig. Prüfe außerdem, ob die Grenzen zwischen 0 und 1 liegen.
Merke: Schätzwert plus und minus Sicherheitsabstand: Diese Struktur hilft dir, Mittelpunkt und Grenzen nicht zu verwechseln.
Beispiel: 95-%-Intervall: 60 % von 500 Befragten sind für eine Fußgängerzone
- 1Angaben: h=0{,}60, n=500, z=1{,}96
- 2m=1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}60\cdot0{,}40}{500}}\approx0{,}043, also rund 4{,}3 Prozentpunkte
- 3Untere Grenze: 0{,}60-0{,}043=0{,}557
- 4Obere Grenze: 0{,}60+0{,}043=0{,}643
- 5Intervall: [0{,}557;0{,}643], also [55{,}7\,\%;64{,}3\,\%]
- 6Probe: Mittelpunkt 60\,\%, beide Grenzen gleich weit entfernt und zwischen 0\,\% und 100\,\%
Teste dich
Das Konfidenzniveau beschreibt die Zuverlässigkeit des Verfahrens. Würdest du sehr oft gleichartige Zufallsstichproben ziehen und jedes Mal ein 95-%-Intervall berechnen, würden ungefähr 95 % dieser Intervalle den festen wahren Anteil p überdecken. Nach der Stichprobe sind die beiden Grenzen fest. Die Aussage „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt p in genau diesem Intervall“ ist deshalb als Deutung des klassischen Verfahrens ungenau. Das Intervall garantiert auch nicht, dass die Stichprobe die Grundgesamtheit gut abbildet. Eine große, aber verzerrte Auswahl kann ein schmales und trotzdem irreführendes Intervall liefern.
Merke: Sachgerecht deutest du so: Das Intervall wurde mit einem Verfahren erzeugt, das den wahren Anteil langfristig in 95 % der Fälle überdeckt. Eine Garantie für dieses eine Intervall ist das nicht.
Teste dich
Die Länge des symmetrischen Näherungsintervalls ist L=2z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}} Daraus liest du drei Einflüsse ab. Mehr Sicherheit und mehr Genauigkeit sind bei unveränderten Daten Gegenspieler: Ein höheres Konfidenzniveau macht das Intervall breiter. Mehr Beobachtungen können es dagegen bei gleichem Niveau schmaler machen.
| Änderung | Wirkung | Intervall |
|---|---|---|
| größeres n | Standardfehler sinkt | schmaler |
| höheres Konfidenzniveau | kritischer Wert z steigt | breiter |
| Anteil näher bei 0{,}5 | h(1-h) wird größer | breiter |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Konfidenzintervall
Ausgangspunkt
Trefferzahl X und Stichprobengröße n
Punktschätzung
h=\frac{X}{n}
Berechnung
h plus und minus Sicherheitsabstand m
Präzision
größeres n ergibt meist ein schmaleres Intervall
Sicherheit
höheres Niveau ergibt ein breiteres Intervall
Prüfung
Wertebereich, Auswahl und Deutung kontrollieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
350 von 1000 Befragten nutzen täglich den Bus
- 1Stichprobenanteil: h=\frac{350}{1000}=0{,}35
- 2Für 95 %: z=1{,}96
- 3m=1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}35\cdot0{,}65}{1000}}\approx0{,}030
- 4Grenzen: 0{,}35-0{,}030=0{,}320 und 0{,}35+0{,}030=0{,}380
- 5Ergebnis: etwa [32\,\%;38\,\%] für den Anteil der täglichen Busfahrer in der Grundgesamtheit
Fehler finden
95-%-Intervall: 80 von 400 Befragten sagen ja In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 fehlt die Wurzel. Richtig ist m=1{,}96\cdot\sqrt{0{,}0004}=1{,}96\cdot0{,}02=0{,}0392 und damit das Intervall [0{,}1608;0{,}2392], also etwa [16\,\%;24\,\%].
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Aus X Treffern unter n Beobachtungen folgt h = . Für ein 95-%-Intervall ist der kritische Wert . Der Sicherheitsabstand wird bei größerem n .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback