Ebenengleichungen umwandeln: alle drei Formen

Stell dir eine Ebene wie eine unbegrenzt große, flache Fläche im Raum vor. Jede Darstellungsform hebt eine andere Eigenschaft hervor. Die Parameterform E: \vec x = \vec p + s \cdot \vec u + t \cdot \vec v beschreibt die Ebene durch einen Stützvektor \vec p und zwei linear unabhängige Spannvektoren \vec u und \vec v. Die Normalenform E: (\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0 nutzt einen Ebenenpunkt und einen senkrechten Vektor. Die Koordinatenform E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d hat die Komponenten von \vec n als Koeffizienten, und für jeden Ebenenpunkt mit Ortsvektor \vec p gilt d = \vec n \cdot \vec p.

Gegeben sind die Punkte A(0 \mid 0 \mid -2), B(1 \mid 1 \mid 3) und C(2 \mid 0 \mid 2). Mit A als Stützpunkt erhältst du \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} und \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}, also die Parameterform E: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} Die Umwandlung gelingt in drei Schritten: Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen, Normalenform aufschreiben, rechte Seite der Koordinatenform ausrechnen. Hat das Kreuzprodukt einen gemeinsamen Faktor, darfst du ihn herausteilen.

Betrachte die Ebene E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5. Den Normalenvektor \vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} liest du direkt ab. Für die Normalenform brauchst du nur noch einen Ebenenpunkt: Setze zwei Koordinaten null und löse nach der dritten auf. Für die Parameterform löst du die Gleichung nach einer Koordinate auf und setzt die beiden anderen als Parameter. Alternativ bestimmst du drei Punkte, welche die Gleichung erfüllen, nimmst einen als Stützpunkt und bildest zwei Verbindungsvektoren. In jedem Fall müssen die beiden Spannvektoren senkrecht zu \vec n und linear unabhängig sein.

Nach jeder Umwandlung helfen drei kurze Kontrollen. Bei der Punktprobe setzt du den Stützpunkt in die Koordinatengleichung ein. Bei der Orthogonalitätsprobe prüfst du \vec n \cdot \vec u = 0 und \vec n \cdot \vec v = 0. Bei der Unabhängigkeitsprobe stellst du sicher, dass die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind. Typische Fehler: Du hältst den Stützvektor für einen Normalenvektor. Du übernimmst das Kreuzprodukt ungeprüft, obwohl ein Vorzeichenfehler durch die Skalarprodukte sofort auffällt. Oder du erwartest genau eine richtige Darstellung, obwohl verschiedene Stütz- und Spannvektoren dieselbe Ebene beschreiben.