Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Galton-Brett: Binomialverteilung verstehen
Am Galton-Brett siehst du, warum mittlere Fächer häufiger getroffen werden. Du zählst Wege und berechnest Fachwahrscheinlichkeiten.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Galton-Brett lenkt eine Kugel an n Stiftreihen je nach links oder rechts ab. Nach k Rechtsablenkungen landet sie im Fach k. Im symmetrischen Modell gilt P(X=k)=\binom{n}{k}\left(\frac12\right)^n: Das Fach ist binomialverteilt, weil zur Mitte die meisten Wege führen.
Beim Galton-Brett wird eine Kugel an jeder Stiftreihe nach links oder rechts abgelenkt. Im symmetrischen Idealmodell sind diese Entscheidungen unabhängig und beide Richtungen gleich wahrscheinlich. Deshalb ist das Zielfach binomialverteilt: Mittlere Fächer sind wahrscheinlicher, weil viel mehr Wege dorthin führen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Kugel fällt durch mehrere versetzte Stiftreihen. An jedem Stift wird sie nach links oder rechts abgelenkt, danach landet sie in einem Auffangfach. Bei n Stufen nummerierst du die Fächer von links nach rechts mit 0, 1, \ldots, n. Jede Rechtsablenkung schiebt die Kugel ein Fach weiter nach rechts. Deshalb landet eine Kugel mit genau k Rechtsablenkungen im Fach k, egal in welcher Reihenfolge sie kommen. Auf jeder Stufe gibt es zwei Richtungen, also verdoppelt sich die Zahl der Wege mit jeder Stufe: Es gibt 2^n Wege, aber nur n+1 Fächer. Die Beispiele hier sind gedachte Modellversuche, keine Messberichte.
Definition
Idealmodell
Im Idealmodell gelten für jede Ablenkung dieselben Bedingungen: Rechts tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein, links mit 1-p. Die Ablenkungen sind unabhängig: Eine frühere Entscheidung verändert die nächste nicht. Dabei ist n \ge 1 und 0 < p < 1. Beim symmetrischen Galton-Brett gilt p = \frac12.
Beispiel: Wege und Fächer zählen
- 1Weg rechts – links – rechts – links bei vier Stufen: zwei Rechtsablenkungen, also Fach 2
- 2Drei Stufen: 2^3 = 8 vollständige Wege
- 3Aber nur 3 + 1 = 4 Fächer
- 4rechts – links – links, links – rechts – links und links – links – rechts enden alle im Fach 1
Merke: Verwechsle Wege und Fächer nicht: Bei n Stufen gibt es 2^n Wege, aber nur n+1 Fächer.
Teste dich
Nicht alle Fächer sind über gleich viele Wege erreichbar. Die Zahl der Wege mit genau k Rechtsablenkungen gibt der Binomialkoeffizient \binom{n}{k} an: Du wählst die k Rechtspositionen aus den n Ablenkungen aus. Rechnerisch gilt \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} für k = 0, 1, \ldots, n. Dabei ist n! = 1 \cdot 2 \cdots n die Fakultät, außerdem gilt 0! = 1. Mehr dazu erklärt der Artikel Binomialkoeffizient. Dieselben Zahlen stehen in Zeile n des Pascalschen Dreiecks, wenn die einzelne 1 an der Spitze Zeile 0 ist. Jede Zeile beginnt und endet mit 1, jeder innere Wert ist die Summe der beiden Werte darüber. Für vier Stufen lautet die Zeile so:
| Fach k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Zahl der Wege | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Beispiel: Wege ins Fach 2 bei vier Stufen
- 1\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6
- 2Die Kugel muss zweimal nach rechts und zweimal nach links: Dafür gibt es 6 Reihenfolgen.
- 3In ein äußeres Fach führt nur ein Weg: viermal links oder viermal rechts.
Teste dich
Nenne eine Rechtsablenkung einen Treffer. Die Zufallsgröße X zählt die Rechtsablenkungen. Bei n unabhängigen Stufen mit konstanter Rechtswahrscheinlichkeit p gilt P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}. Die Formel verbindet zwei Gedanken: \binom{n}{k} zählt die Wege mit genau k Rechtsablenkungen, und p^k \cdot (1-p)^{n-k} ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Weges. Beim symmetrischen Brett ist p = \frac12. Dann hat jeder vollständige Weg dieselbe Wahrscheinlichkeit \left(\frac12\right)^n, und die Formel wird zu P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot \left(\frac12\right)^n. Diese Verteilung heißt Binomialverteilung. Sie hat einen eigenen Artikel.
Beispiel: Vier Stufen: Fach 3
- 1Passende Wege: \binom{4}{3} = 4, die eine Linksablenkung kann an vier Stellen liegen
- 2Alle Wege: 2^4 = 16, jeder ist gleich wahrscheinlich
- 3P(X=3) = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25
- 4Die Wahrscheinlichkeit beträgt 25 %.
Beispiel: Zehn Stufen: Fach 5 und Fach 6
- 1Das mittlere Fach ist k = 5, nicht k = 6.
- 2P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot \left(\frac12\right)^{10} = \frac{252}{1024} \approx 0{,}2461
- 3P(X=6) = \binom{10}{6} \cdot \left(\frac12\right)^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0{,}2051
- 4Das mittlere Fach trifft die Kugel also mit etwa 24,61 %.
Teste dich
Beim symmetrischen Modell sind die Binomialkoeffizienten spiegelbildlich angeordnet, also ist auch die Fachverteilung symmetrisch: viele Wege zur Mitte, wenige zu den Rändern. Bei zehn Stufen teilst du die Wegzahlen durch 2^{10} = 1024 und erhältst die Fachwahrscheinlichkeiten. Lässt du 1024 Kugeln fallen, sind die Wegzahlen zugleich die erwarteten Häufigkeiten. Ein echter Versuch muss sie nicht genau treffen. Die Verteilung ist binomial und damit diskret. Bei vielen Stufen ähnelt sie einer Glockenkurve und lässt sich durch eine Normalverteilung annähern. Mehr Kugeln machen die beobachteten Anteile stabiler, erhöhen aber nicht die Stufenzahl n. Ein echtes Brett erfüllt das Modell nie ganz: Stifte sitzen ungenau, Kugeln unterscheiden sich, Reibung und Stöße wirken. Bleibt p konstant und sind die Ablenkungen unabhängig, passt das Binomialmodell auch bei p \ne \frac12. Die Verteilung wird dann schief.
| Fach k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wege | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Beispiel: Geneigtes Brett mit p = 0,7 und vier Stufen
- 1P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3
- 2= 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116
- 3Die Wahrscheinlichkeit für Fach 3 beträgt 41,16 %.
- 4Beim symmetrischen Brett sind es für Fach 3 nur 25 %. Rechts ist wahrscheinlicher, darum liegt der Schwerpunkt weiter rechts.
Merke: Die Glockenform allein beweist weder eine perfekte Mechanik noch ein gutes Zufallsverfahren. Vergleiche Beobachtung und Modell.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Galton-Brett
Aufbau
n Stufen ergeben 2^n Wege, aber nur n+1 Fächer
Fachnummer
Fach k bedeutet genau k Rechtsablenkungen
Wege zählen
\binom{n}{k} Wege führen ins Fach k, wie im Pascalschen Dreieck
Wahrscheinlichkeit
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, symmetrisch \binom{n}{k}\left(\frac12\right)^n
Modellgrenzen
konstantes p und unabhängige Ablenkungen; ein echtes Brett passt nur näherungsweise
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Symmetrisches Brett mit sechs Stufen: Wie wahrscheinlich ist Fach 2?
- 1Gegeben: n = 6, p = \frac12, gesucht P(X=2)
- 2Wege ins Fach 2: \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
- 3Alle Wege: 2^6 = 64, jeder hat die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{64}
- 4P(X=2) = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \approx 0{,}2344
- 5Die Kugel landet also mit etwa 23,4 % im Fach 2.
Fehler finden
Symmetrisches Brett mit fünf Stufen: Fach 2 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Ein Weg besteht aus allen fünf Ablenkungen, also hat er die Wahrscheinlichkeit \left(\frac12\right)^5 = \frac{1}{32}. Richtig ist P(X=2) = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{16} = 0{,}3125. Eine Wahrscheinlichkeit über 1 ist immer ein Warnsignal.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Galton-Brett mit 4 Stufen hat mögliche Wege, aber nur Fächer. Die meisten Wege führen in die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback