Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Fläche zwischen zwei Graphen berechnen
Die Fläche zwischen zwei Graphen ist das Integral von oberer minus unterer Funktion. Du lernst, Schnittpunkte, Teilintervalle und Teilflächen zu nutzen.
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Kurz gesagt
Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest du mit A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx, wenn f auf [a;b] oben liegt. Die Grenzen sind meist die Schnittstellen aus f(x) = g(x). Wechseln die Graphen dazwischen die Reihenfolge, teilst du an jedem inneren Schnittpunkt und addierst die Teilflächen.
Eine Parabel und eine Gerade schließen oft eine Fläche ein. Mit dem Integral kannst du sie genau berechnen. Entscheidend ist, welcher Graph oben liegt und ob sich das zwischen den Grenzen ändert.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für zwei Funktionen f und g misst die Differenz der Funktionswerte den senkrechten Abstand der Graphen. Liegt f oben, ist dieser Abstand h(x) = f(x) - g(x). Liegt g oben, nimmst du g(x) - f(x). Der Flächeninhalt auf einem Intervall [a;b] ist dann A = \int_a^b \bigl(\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion}\bigr)\,dx
Definition
Geometrischer Flächeninhalt
Ein geometrischer Flächeninhalt ist nie negativ. Ein bestimmtes Integral kann dagegen negativ sein: Es ist eine orientierte Flächenbilanz. Deshalb musst du die Reihenfolge der Graphen beachten oder jeden Teilintegralwert als Betrag nehmen.
Merke: Sind beide Funktionen auf einem Teilintervall ohne Definitionslücke stetig, gilt zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten: oben minus unten. Dann erhältst du direkt eine positive Teilfläche.
Teste dich
Sind die Grenzen nicht vorgegeben, begrenzen meist die äußeren Schnittpunkte die eingeschlossene Fläche. Jeder Schnittpunkt dazwischen ist eine Teilungsstelle. Bei stetigen Funktionen kann sich die Reihenfolge der Graphen nur an einem Schnittpunkt ändern. Eine Definitionslücke ist dagegen kein Schnittpunkt, sondern eine zusätzliche Grenze. Dort musst du gesondert prüfen, ob das uneigentliche Integral existiert und die Fläche endlich ist. Zum Beispiel ist f(x) = \frac{1}{x} bei x = 0 nicht definiert. Mit g(x) = 0 auf [-1;1] entsteht deshalb nicht automatisch eine endliche Fläche.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1. Definitionsbereich | Prüfen, ob beide Funktionen im Abschnitt definiert sind; Lücken markieren |
| 2. Schnittstellen | f(x) = g(x) lösen |
| 3. Grenzen | Schnittstellen im Intervall mit den äußeren Grenzen und Lücken sortieren |
| 4. Oben und unten | In jedem Teilintervall einen Testwert in beide Funktionen einsetzen |
| 5. Teilintegrale | Jeweils obere minus untere Funktion integrieren |
| 6. Addieren | Die endlichen Teilflächen zum Flächeninhalt addieren |
Merke: Du darfst auch durchgehend f - g integrieren. Dann gilt A = \sum_i \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} (f(x) - g(x))\,dx \right| Wichtig ist der Betrag um jedes einzelne Teilintegral. Ein einziger Betrag um das Gesamtintegral kann Teilflächen gegenseitig aufheben.
Teste dich
Gegeben sind f(x) = x^2 - 1 und g(x) = x + 1 auf dem Intervall [-1;2]. Die Graphen schneiden sich nur an den beiden Grenzen. Deshalb bleibt ein Graph durchgehend oben, und ein einziges Integral reicht. Die Abkürzung FE bedeutet Flächeneinheiten. Ohne vorgegebene Längeneinheit ist das die passende Einheit.
Beispiel: Fläche zwischen f(x) = x^2 - 1 und g(x) = x + 1
- 1x^2 - 1 = x + 1
- 2x^2 - x - 2 = 0
- 3(x + 1)(x - 2) = 0, also x = -1 oder x = 2
- 4Testwert x = 0: f(0) = -1 und g(0) = 1, also liegt g oben
- 5g(x) - f(x) = x + 1 - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 2
- 6Stammfunktion: H(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x
- 7A = H(2) - H(-1) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} FE
Teste dich
Nun seien f(x) = x^3 - 3x und g(x) = 2x^2 auf [-1;3] gegeben. Die Graphen schneiden sich auch bei x = 0, dort wechseln oben und unten. Du teilst deshalb in [-1;0] und [0;3] und zählst beide Teilflächen positiv. Achte beim Bilden der Differenz auf die Klammer um die ganze zweite Funktion, etwa x^2 - (2x - 2) = x^2 - 2x + 2. Von der Schnittgleichung behältst du nur reelle Lösungen im betrachteten Intervall. Durch Einsetzen in f(x) = g(x) findest du Rechenfehler.
Beispiel: Fläche zwischen f(x) = x^3 - 3x und g(x) = 2x^2 auf [-1;3]
- 1x^3 - 3x = 2x^2
- 2x^3 - 2x^2 - 3x = x(x - 3)(x + 1) = 0, also x = -1, x = 0 und x = 3
- 3Testwert x = -0{,}5: f - g = 0{,}875, also liegt f auf [-1;0] oben
- 4Testwert x = 1: f - g = -4, also liegt g auf [0;3] oben
- 5Stammfunktion von f - g: H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2
- 6A_1 = \left|H(0) - H(-1)\right| = \frac{7}{12}
- 7A_2 = \left|H(3) - H(0)\right| = \frac{45}{4}
- 8A = \frac{7}{12} + \frac{45}{4} = \frac{71}{6} FE
Teste dich
Alles auf einen Blick
Fläche zwischen Graphen
Vorbereiten
Schnittpunkte aus f(x) = g(x) lösen und Grenzen sortieren
Entscheiden
in jedem Abschnitt mit einem Testwert oben und unten prüfen
Rechnen
obere minus untere Funktion integrieren
Absichern
Teilflächen positiv zählen und addieren
Betrag
um jedes Teilintegral, nie nur um das Gesamtintegral
Definitionslücke
zusätzliche Grenze, Endlichkeit gesondert prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Fläche zwischen f(x) = 2 - x^2 und g(x) = x
- 12 - x^2 = x
- 2x^2 + x - 2 = 0
- 3(x + 2)(x - 1) = 0, also x = -2 oder x = 1
- 4Testwert x = 0: f(0) = 2 und g(0) = 0, also liegt f oben
- 5f(x) - g(x) = 2 - x^2 - x mit Stammfunktion H(x) = 2x - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2
- 6A = H(1) - H(-2) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{9}{2} FE
Fehler finden
Fläche zwischen f(x) = x^2 und g(x) = 2x - 2 auf [0;2] In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Klammer wurde falsch aufgelöst: Aus -(-2) wird +2. Richtig ist f(x) - g(x) = x^2 - 2x + 2 und A = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} FE. Ein negativer Wert hätte dich schon stutzig machen sollen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für einen geometrischen Flächeninhalt integrierst du in jedem Teilintervall minus . An einem inneren kann sich diese Reihenfolge ändern. Die positiven Teilflächen werden am Ende addiert.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback