Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Ebenengleichungen: aufstellen und umwandeln
Eine Ebene im Raum beschreibst du in Parameter-, Normalen- oder Koordinatenform. Du lernst, Ebenen aufzustellen, Formen zu wechseln und Punkte zu prüfen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Ebenengleichung beschreibt alle Punkte einer Ebene im Raum. Es gibt drei Formen: die Parameterform \vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v, die Normalenform (\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0 und die Koordinatenform a x_1 + b x_2 + c x_3 = d. Der Normalenvektor \vec n verbindet sie.
Eine Tischplatte, eine Dachfläche, eine Wand: Im dreidimensionalen Raum kannst du solche flachen Flächen als Ebenen beschreiben. Das geht auf drei Arten: mit zwei Richtungen, mit einem senkrechten Vektor oder mit einer Koordinatengleichung. Welche Form günstig ist, hängt von der Aufgabe ab. Hier lernst du, Ebenen aus drei Punkten aufzustellen, zwischen den Formen zu wechseln und Punkte sowie Spurpunkte zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Ebene ist ein unbegrenzt ausgedehntes, flaches Objekt im Raum. Dieselbe Ebene kannst du durch verschiedene Gleichungen beschreiben. Die Parameterform nutzt zwei Richtungen in der Ebene, die Normalenform eine Richtung senkrecht zur Ebene und die Koordinatenform eine Gleichung für die Koordinaten aller Ebenenpunkte. Die beiden Spannvektoren der Parameterform müssen linear unabhängig sein: Keiner darf ein Vielfaches des anderen sein. Sonst liefern sie nur eine Richtung und spannen keine Ebene auf.
Definition
Parameterform
E: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v mit r, s \in \mathbb{R}. Der Stützvektor \vec p führt zu einem festen Punkt der Ebene. Die Spannvektoren \vec u und \vec v geben zwei Richtungen in der Ebene an. Über alle Werte von r und s erreichst du jeden Ebenenpunkt.
Definition
Normalenform
E: (\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0. Der Normalenvektor \vec n steht senkrecht auf der Ebene. Deshalb ist sein Skalarprodukt mit jeder Richtung in der Ebene null.
Definition
Koordinatenform
E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d. Der Vektor \vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} ist ein Normalenvektor der Ebene. Jeder Punkt der Ebene erfüllt die Gleichung.
Teste dich
Drei Punkte bestimmen genau dann eine Ebene, wenn sie nicht alle auf einer Geraden liegen. Wähle einen Punkt als Stützpunkt und bilde von ihm aus zwei Verbindungsvektoren. Für A(1 \mid 1 \mid 1), B(2 \mid 0 \mid 4) und C(4 \mid 0 \mid 3) mit dem Stützpunkt A gilt: \overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} = \vec c - \vec a = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} Die beiden Vektoren sind keine Vielfachen voneinander. Sie sind also linear unabhängig und spannen eine Ebene auf.
Beispiel: Parameterform der Ebene durch A, B und C
- 1E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
- 2Für r = 0 und s = 0 erhältst du den Stützpunkt A.
- 3Für r = 1 und s = 0 erhältst du B.
- 4Für r = 0 und s = 1 erhältst du C.
Merke: Stützpunkt plus zwei Verbindungsvektoren ergibt die Parameterform. Sind die beiden Vektoren Vielfache voneinander, liegen die drei Punkte auf einer Geraden und bestimmen keine Ebene.
Teste dich
Der Schlüssel für jede Umwandlung ist der Normalenvektor. Aus zwei Spannvektoren bekommst du ihn mit dem Kreuzprodukt: \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix} Für die Koordinatenform übernimmst du die Komponenten von \vec n als Koeffizienten und berechnest die rechte Seite mit d = \vec n \cdot \vec p. Rückwärts liest du \vec n aus der Koordinatenform ab und suchst drei Ebenenpunkte, am einfachsten die Schnittpunkte mit den Achsen: Setze jeweils zwei Koordinaten null. Für E: 2x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 12 sind das S_1(6 \mid 0 \mid 0), S_2(0 \mid 3 \mid 0) und S_3(0 \mid 0 \mid 4). Mit S_1 als Stützpunkt ergibt sich E: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}. Parameterformen sind nicht eindeutig: Andere Ebenenpunkte und andere unabhängige Spannvektoren beschreiben dieselbe Ebene.
Beispiel: Die Ebene durch A, B und C in allen drei Formen
- 1Spannvektoren: \vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und \vec v = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
- 2Kreuzprodukt: \vec n = \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}
- 3Kontrolle: \vec n \cdot \vec u = 1 - 7 + 6 = 0 und \vec n \cdot \vec v = 3 - 7 + 4 = 0
- 4Normalenform: E: \left(\vec x - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = 0
- 5Rechte Seite: d = \vec n \cdot \vec a = 1 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 10
- 6Koordinatenform: E: x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 10
Merke: Der sichere Umwandlungsweg lautet: Spannvektoren → Normalenvektor → Normalenform → Koordinatenform. Prüfe das Kreuzprodukt immer mit zwei Skalarprodukten.
Teste dich
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein. Die Koordinatenform ist dafür am günstigsten. Für R(2 \mid 1 \mid 11) und E: 3x_1 + 7x_2 - x_3 = 2 gilt 3 \cdot 2 + 7 \cdot 1 - 11 = 2. Die Gleichung ist erfüllt, also liegt R auf E. In der Parameterform müsstest du erst gemeinsame Werte für r und s suchen, die alle drei Koordinatengleichungen erfüllen. Nicht jede Ebene hat auf jeder Achse einen Spurpunkt: Ist ein Koeffizient null, ist die Ebene parallel zu dieser Achse oder enthält sie. Prüfe dann die verbleibende Gleichung.
Definition
Spurpunkt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Koordinatenachse. Für den Schnitt mit einer Achse setzt du die beiden anderen Koordinaten gleich null.
Beispiel: Spurpunkte von E: 2x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 12
- 1x_1-Achse: x_2 = x_3 = 0, also 2x_1 = 12, x_1 = 6 und S_1(6 \mid 0 \mid 0)
- 2x_2-Achse: x_1 = x_3 = 0, also 4x_2 = 12, x_2 = 3 und S_2(0 \mid 3 \mid 0)
- 3x_3-Achse: x_1 = x_2 = 0, also 3x_3 = 12, x_3 = 4 und S_3(0 \mid 0 \mid 4)
Merke: Wähle die Form nach der Aufgabe: Parameterform zum Aufspannen, Normalenform für die senkrechte Richtung, Koordinatenform für Punktproben und Spurpunkte.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ebenengleichungen
Parameterform
Stützpunkt und zwei unabhängige Spannrichtungen
Normalenform
Stützpunkt und senkrechter Normalenvektor
Koordinatenform
Die Koeffizienten bilden einen Normalenvektor
Aufstellen
drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen
Umwandeln
Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen
Prüfen
Punktprobe und Spurpunkte in der Koordinatenform
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ebene durch A(1 \mid 0 \mid 2), B(3 \mid 1 \mid 2) und C(1 \mid 2 \mid 5) in Koordinatenform
- 1Spannvektoren: \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
- 2Kreuzprodukt: \vec n = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}
- 3Kontrolle: \vec n \cdot \overrightarrow{AB} = 6 - 6 + 0 = 0 und \vec n \cdot \overrightarrow{AC} = 0 - 12 + 12 = 0
- 4Rechte Seite: d = \vec n \cdot \vec a = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 11
- 5Koordinatenform: E: 3x_1 - 6x_2 + 4x_3 = 11
- 6Probe mit C: 3 \cdot 1 - 6 \cdot 2 + 4 \cdot 5 = 11
Fehler finden
Koordinatenform aus P(2 \mid -1 \mid 3) und \vec n = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim letzten Produkt ging das Minus verloren: -2 \cdot 3 = -6. Richtig ist d = 8 - 1 - 6 = 1, also E: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Spannvektoren einer Ebene müssen linear sein. In der Koordinatenform bilden die Koeffizienten einen . Für eine schnelle Punktprobe eignet sich die am besten.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback