Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Binomialkoeffizient berechnen: Formel und Übungen
Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung. Du lernst, wann er passt, wie du ihn berechnest und prüfst.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Binomialkoeffizient \binom{n}{k}, gesprochen „n über k“, gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k von n verschiedenen Objekten ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Du berechnest ihn mit \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}, zum Beispiel \binom{4}{2} = 6.
Aus deiner Klasse sollen zwei Leute in die Schülervertretung. Wie viele verschiedene Duos sind möglich? Solche Fragen beantwortet der Binomialkoeffizient \binom{n}{k}. Er zählt, wie viele Auswahlen von k Objekten aus n unterscheidbaren Objekten es gibt. Dabei zählt die Reihenfolge nicht, und kein Objekt wird mehrfach ausgewählt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Stell dir vor, aus vier Personen werden zwei für ein Team gewählt. Das Team Anna–Lukas ist dasselbe wie Lukas–Anna, und niemand kann zweimal im Team sein. Genau für solche Auswahlen brauchst du den Binomialkoeffizienten. Prüfe drei Bedingungen: Du wählst genau k Objekte aus insgesamt n unterscheidbaren Objekten. Jedes Objekt kommt höchstens einmal vor. Verschiedene Reihenfolgen derselben Auswahl gelten als gleich.
Definition
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient \binom{n}{k} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Objekte aus n verschiedenen Objekten ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Man spricht „n über k“ oder „k aus n“.
Beispiel: Zwei von vier Bällen auswählen
- 1Die Bälle sind Gelb, Grün, Rot und Blau.
- 2Paare mit Gelb: Gelb–Grün, Gelb–Rot, Gelb–Blau
- 3Paare ohne Gelb: Grün–Rot, Grün–Blau, Rot–Blau
- 4Das sind 6 Paare, also \binom{4}{2} = 6.
Merke: Keine Wiederholung und Reihenfolge egal: Dann passt der Binomialkoeffizient. Zählt die Reihenfolge oder sind Wiederholungen erlaubt, brauchst du ein anderes Zählverfahren.
Teste dich
Das Zeichen ! steht für die Fakultät: Du multiplizierst alle positiven ganzen Zahlen bis zur angegebenen Zahl, zum Beispiel 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Für den Randfall gilt die Festlegung 0! = 1. Damit lautet die Formel \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} Warum? Würde die Reihenfolge zählen, gäbe es n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} mögliche Folgen. Darin kommt jede ungeordnete Auswahl in ihren k! Reihenfolgen vor. Die Division durch k! entfernt diese Mehrfachzählung. Schreib beim Rechnen nur die nötigen Faktoren aus und kürze früh, dann bleiben die Zahlen klein. Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner nutzt du meist die Funktion nCr: n eingeben, nCr wählen, k eingeben. Für n = 20 und k = 3 erhältst du 1.140. Die Funktion nPr passt hier nicht, denn sie zählt Anordnungen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist.
Beispiel: Die sechs Ballpaare mit der Formel
- 1\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6
- 2Das passt zur Liste der sechs Paare: Es gibt sechs verschiedene Zweierauswahlen.
Beispiel: \binom{10}{3} mit frühem Kürzen
- 1Ansatz: \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}
- 2Im Zähler steckt 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!, also kürzt du 7!.
- 3\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120
- 4Aus zehn Kugeln gibt es 120 verschiedene Dreierauswahlen.
Teste dich
Einige Werte erkennst du ohne lange Rechnung, die Tabelle zeigt sie. Außerdem sind Auswahl und Nichtauswahl symmetrisch: Wer k Objekte auswählt, legt zugleich fest, welche n - k Objekte übrig bleiben. Deshalb gilt \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Im Pascalschen Dreieck ist jeder innere Eintrag die Summe der beiden Einträge schräg darüber. Für 1 \le k \le n - 1 heißt das \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
| Regel | Warum? |
|---|---|
| \binom{n}{0} = 1 | Nichts auszuwählen geht auf genau eine Weise. |
| \binom{n}{n} = 1 | Alle auszuwählen geht auf genau eine Weise. |
| \binom{n}{1} = n | Jedes der n Objekte kann allein gewählt werden. |
| \binom{n}{k} = 0 für k > n | Mehr Objekte, als da sind, kannst du nicht auswählen. |
Beispiel: Symmetrie und Pascal-Regel für n = 5
- 1Symmetrie: \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10
- 2Pascal-Regel: \binom{5}{3} = \binom{4}{2} + \binom{4}{3} = 6 + 4 = 10
- 3Beide Wege liefern denselben Wert.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Binomialkoeffizient
Bedeutung
k aus n auswählen, gesprochen „n über k“
Voraussetzungen
keine Wiederholung, Reihenfolge egal
Berechnung
\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}, früh kürzen oder nCr
Kontrolle
Randfälle, Symmetrie und Pascalsches Dreieck
Anwendungen
Teams, Kugeln und Zahlenkombinationen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
3 von 25 Schülern für den Schülerrat auswählen
- 1Reihenfolge egal, niemand doppelt: Der Ansatz ist \binom{25}{3}.
- 2\binom{25}{3} = \frac{25!}{3! \cdot 22!}, dabei kürzt sich 22! weg.
- 3Zähler: 25 · 24 · 23 = 13.800
- 4Nenner: 3 · 2 · 1 = 6
- 513.800 : 6 = 2.300
- 6Es gibt 2.300 verschiedene Dreiergruppen.
Fehler finden
Wie viele Viererteams lassen sich aus 8 Personen bilden? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 wurde nur ein 4! gekürzt, das zweite 4! = 24 im Nenner fehlt. Richtig ist \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1.680}{24} = 70.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Binomialkoeffizienten wird die Reihenfolge beachtet. Die Auswahl erfolgt Wiederholung. Das Zeichen ! bezeichnet die einer Zahl.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback