Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Determinante berechnen: Regeln und Beispiele
Die Determinante ist eine Zahl zu einer quadratischen Matrix. Du lernst, sie für kleine und große Matrizen zu berechnen und zu deuten.
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Kurz gesagt
Die Determinante \det(A) ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix A gehört. Für eine 2\times2-Matrix gilt \det(A)=ad-bc, für 3\times3-Matrizen nutzt du die Regel von Sarrus. Genau dann, wenn \det(A)\neq0 ist, ist A invertierbar.
Die Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Sie zeigt unter anderem, ob die Matrix invertierbar ist: Genau dann, wenn \det(A)\neq0 gilt, besitzt A eine inverse Matrix. Hier lernst du, Determinanten kleiner Matrizen zu berechnen, größere mit Laplace zu zerlegen und Rechenregeln geschickt zu nutzen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Determinante gibt es nur für quadratische Matrizen, also für Matrizen mit gleich vielen Zeilen und Spalten. Man schreibt \det(A) oder |A|. Ihr Wert verrät dreierlei: |\det(A)| ist der Faktor, mit dem Flächen oder Volumen skaliert werden. Ein positives Vorzeichen heißt, dass die Orientierung erhalten bleibt, ein negatives zeigt einen Orientierungswechsel an. Bei \det(A)=0 wird der Raum auf eine niedrigere Dimension zusammengedrückt. Dann sind die Spalten linear abhängig, und die Matrix ist nicht invertierbar. Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A bedeutet \det(A)\neq0: Das System ist eindeutig lösbar.
Definition
Determinante
Die Determinante ordnet jeder quadratischen Matrix A genau eine Zahl \det(A) zu. Geometrisch beschreibt ihr Betrag, mit welchem Faktor die zugehörige lineare Abbildung Flächen beziehungsweise Volumen skaliert.
| Wert | Bedeutung |
|---|---|
| \det(A)>0 | invertierbar, Orientierung bleibt erhalten |
| \det(A)<0 | invertierbar, Orientierung wechselt |
| \det(A)=0 | nicht invertierbar, Spalten linear abhängig |
Teste dich
Für A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} gilt \det(A)=ad-bc. Du multiplizierst die Einträge der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten und ziehst das Produkt der anderen Diagonale ab. Für eine 3\times3-Matrix A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} nutzt du die Regel von Sarrus: Du addierst drei Produkte in der einen Diagonalrichtung und ziehst drei Produkte in der Gegenrichtung ab. \det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
Beispiel: 2\times2 und 3\times3
- 1\det\begin{pmatrix}2&4\\6&-3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-4\cdot6=-6-24=-30
- 2Sarrus für \begin{pmatrix}4&5&3\\3&-2&1\\0&3&1\end{pmatrix}:
- 3Plus-Produkte: 4\cdot(-2)\cdot1+5\cdot1\cdot0+3\cdot3\cdot3=-8+0+27=19
- 4Minus-Produkte: 3\cdot(-2)\cdot0+5\cdot3\cdot1+4\cdot1\cdot3=0+15+12=27
- 5\det(A)=19-27=-8
Merke: Hauptdiagonalprodukt minus Nebendiagonalprodukt. Achte besonders auf negative Einträge. Sarrus gilt nur für 3\times3-Matrizen.
Teste dich
Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz zerlegst du eine Determinante in kleinere. Wähle dafür eine Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen, denn jeder Nulleintrag lässt einen Summanden wegfallen. Streichst du bei a_{ij} die Zeile i und die Spalte j, erhältst du die Untermatrix M_{ij}. Das Vorzeichen (-1)^{i+j} folgt einem Schachbrettmuster, das links oben mit + beginnt. Bei der Entwicklung nach Zeile i gilt \det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) Alternativ bringst du die Matrix mit Gauß-Schritten in obere Dreiecksform. Dann ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Zeilentausch und das Multiplizieren einer Zeile musst du dabei mitführen. Nur das Addieren eines Zeilenvielfachen lässt die Determinante unverändert.
Beispiel: Entwicklung von \begin{pmatrix}1&3&8\\-2&5&0\\4&6&7\end{pmatrix} nach der 2. Zeile
- 1\det(M_{21})=\det\begin{pmatrix}3&8\\6&7\end{pmatrix}=3\cdot7-8\cdot6=-27
- 2Vorzeichen bei (2,1) ist -: Beitrag (-2)\cdot(-1)\cdot(-27)=-54
- 3\det(M_{22})=\det\begin{pmatrix}1&8\\4&7\end{pmatrix}=1\cdot7-8\cdot4=-25
- 4Vorzeichen bei (2,2) ist +: Beitrag 5\cdot(-25)=-125
- 5Der Eintrag 0 liefert keinen Beitrag: \det(A)=-54-125=-179
Teste dich
Für quadratische n\times n-Matrizen gelten einige Rechenregeln. Mit ihnen musst du oft gar nicht neu rechnen. \det(A)=0 erkennst du häufig sofort: bei einer Nullzeile oder Nullspalte, bei zwei gleichen Zeilen oder Spalten und bei einer Zeile oder Spalte, die eine Linearkombination anderer ist.
| Regel | Wirkung |
|---|---|
| \det(A^T)=\det(A) | Transponieren ändert nichts |
| \det(AB)=\det(A)\det(B) | Produkt der Determinanten |
| \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)} | für invertierbares A |
| \det(\lambda A)=\lambda^n\det(A) | ganze Matrix mal \lambda |
| zwei Zeilen oder Spalten tauschen | Vorzeichen wechselt |
| eine Zeile mal \lambda | Determinante mal \lambda |
| Vielfaches einer Zeile addieren | Determinante bleibt gleich |
Merke: Eine einzelne Zeile mit \lambda zu multiplizieren erzeugt den Faktor \lambda. Die ganze n\times n-Matrix mit \lambda zu multiplizieren erzeugt den Faktor \lambda^n.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Determinante
Bedeutung
Betrag als Skalierungsfaktor, Vorzeichen als Orientierung
Nullwert
Spalten linear abhängig, keine inverse Matrix
Kleine Matrizen
ad-bc und die Regel von Sarrus
Größere Matrizen
Laplace oder Gauß mit Buchführung
Rechenregeln
\det(AB)=\det(A)\det(B), Zeilentausch wechselt das Vorzeichen
Anwendung
Invertierbarkeit und eindeutige Lösbarkeit prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ist A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&1&2\end{pmatrix} invertierbar?
- 1Sarrus: \det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
- 2Plus-Produkte: 2\cdot3\cdot2+1\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot1=12
- 3Minus-Produkte: 0\cdot3\cdot0+1\cdot1\cdot2+2\cdot1\cdot1=4
- 4\det(A)=12-4=8
- 5Weil 8\neq0 ist, ist A invertierbar.
Fehler finden
\det\begin{pmatrix}5&-2\\3&4\end{pmatrix} berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Minus vor dem Nebendiagonalprodukt wurde übersehen: -(-6)=+6. Richtig ist \det(A)=20-(-2)\cdot3=20+6=26.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Determinante gibt es nur für Matrizen. Die Regel von Sarrus gilt nur für -Matrizen. Vertauschst du zwei Zeilen, .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback