Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Faires Spiel mit dem Erwartungswert prüfen
Ein Spiel ist fair, wenn du auf lange Sicht weder gewinnst noch verlierst. Du lernst, das mit dem Erwartungswert zu prüfen und Spiele fair zu machen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Reingewinns genau 0 € ist: E(X) = 0. Dafür multiplizierst du jeden möglichen Reingewinn (Auszahlung minus Einsatz) mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles. Ist E(X) < 0, verliert der Spieler auf lange Sicht.
Ein Glücksspiel ist aus Sicht des Spielers fair, wenn der erwartete Reingewinn genau 0 € beträgt. Einzelne Gewinne und Verluste sind trotzdem möglich: Fairness beschreibt den langfristigen Durchschnitt vieler gleichartiger Spiele. Auf dieser Seite lernst du, finanzielle Ergebnisse eindeutig zu beschreiben, ihren Erwartungswert zu berechnen und ein unfaires Spiel durch eine passende Auszahlung fair zu machen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Wort „Gewinn“ ist mehrdeutig. Kläre deshalb vor jeder Rechnung, ob die gesamte Auszahlung gemeint ist oder der Betrag nach Abzug des Einsatzes. Bei einem Einsatz von 3 € und einer Auszahlung von 5 € gilt: 5\,€ - 3\,€ = 2\,€. Die Bruttoauszahlung beträgt 5 €, der Reingewinn 2 €. Wird nichts ausgezahlt, beträgt der Reingewinn 0\,€ - 3\,€ = -3\,€.
Definition
Bruttoauszahlung
Die Bruttoauszahlung ist der gesamte Betrag, den der Spieler nach einem Ergebnis ausgezahlt bekommt. Der Einsatz ist noch nicht abgezogen.
Definition
Reingewinn
Der Reingewinn ist die Bruttoauszahlung abzüglich des Einsatzes. Ein Verlust wird als negativer Reingewinn notiert.
Merke: Rechne nicht mit dem unklaren Wort „Gewinn“. Schreibe zuerst ausdrücklich auf, ob deine Zufallsvariable die Bruttoauszahlung oder den Reingewinn beschreibt.
Teste dich
Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Spielausgang eine Zahl zu. Für die Fairnessprüfung sind das die möglichen Reingewinne des Spielers. Den Erwartungswert erhältst du, indem du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alle Produkte addierst: E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i). Gehe in vier Schritten vor: Lege fest, dass X den Reingewinn beschreibt. Bestimme alle Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten. Berechne E(X). Deute das Vorzeichen: Bei E(X) < 0 verliert der Spieler auf lange Sicht, bei E(X) = 0 ist das Spiel fair, bei E(X) > 0 hat der Spieler einen Vorteil. Der Erwartungswert sagt nicht voraus, was im nächsten Spiel passiert. Er ist der Wert, dem sich der durchschnittliche Reingewinn pro Spiel bei sehr vielen Wiederholungen annähert.
| Zwei Münzwürfe, Tipp Wappen, Einsatz 3 € | Reingewinn X | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| kein Wappen | -3\,€ | 0{,}25 |
| genau ein Wappen (WZ oder ZW) | 0\,€ | 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}50 |
| zwei Wappen | 2\,€ | 0{,}25 |
Beispiel: Erwartungswert des Münzspiels
- 1E(X) = (-3) \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}50 + 2 \cdot 0{,}25
- 2E(X) = -0{,}75 + 0 + 0{,}50 = -0{,}25 €
- 3Der Erwartungswert ist negativ: Der Spieler verliert im Schnitt 25 Cent pro Runde. Das Spiel ist unfair.
Teste dich
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Bei einer ungeraden Augensumme gewinnt der Spieler 1 €, bei einer geraden verliert er 1 €. Es gibt fünf ungerade Summenwerte (3, 5, 7, 9 und 11), aber sechs gerade von 2 bis 12. Trotzdem ist das Spiel fair. Der Grund: Die Summenwerte sind nicht gleich wahrscheinlich. Gleich wahrscheinlich sind die 36 geordneten Würfelpaare, etwa (1, 2) und (2, 1). Die Tabelle zählt, wie viele Paare zu jeder Sorte Summe gehören.
| Summenwerte | Anzahl der Würfelpaare |
|---|---|
| gerade: 2, 4, 6, 8, 10, 12 | 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18 |
| ungerade: 3, 5, 7, 9, 11 | 2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18 |
Beispiel: Ist das Augensummen-Spiel fair?
- 1P(\text{gerade}) = P(\text{ungerade}) = \frac{18}{36} = 0{,}5
- 2E(X) = 1 \cdot 0{,}5 + (-1) \cdot 0{,}5 = 0 €
- 3Der erwartete Reingewinn ist 0 €: Das Spiel ist fair.
Merke: Zähle nicht einfach verschiedene Summenwerte. Zähle die zugrunde liegenden gleich wahrscheinlichen Ergebnisse.
Teste dich
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ein Pasch entsteht, wenn beide Würfe dieselbe Augenzahl zeigen. Das sind 6 von 36 Würfelpaaren, also P(\text{Pasch}) = \frac{6}{36} = \frac16. Der Einsatz beträgt 1 €. Gesucht ist die Bruttoauszahlung A, die das Spiel fair macht. Ohne Pasch beträgt der Reingewinn -1 €, bei einem Pasch (A - 1) €. Die Regel „Du gewinnst 2 €“ wäre hier zu ungenau: Sind die 2 € brutto gemeint, ist der Reingewinn beim Pasch 1 € und E(X) = -\frac23 €. Sind 2 € schon der Reingewinn, ist E(X) = -\frac12 €. Beides ist unfair, aber mit verschiedenen Erwartungswerten.
Beispiel: Die faire Auszahlung beim Pasch
- 1Erwarteten Reingewinn gleich null setzen: (-1) \cdot \frac56 + (A - 1) \cdot \frac16 = 0
- 2Mit 6 multiplizieren: -5 + A - 1 = 0
- 3Also A = 6 €
- 4Beim Pasch müssen 6 € brutto ausgezahlt werden. Nach Abzug des Einsatzes bleiben 5 € Reingewinn.
Merke: Rechnest du mit der Bruttoauszahlung, lautet die Fairnessbedingung: erwartete Auszahlung = Einsatz. Hier: 6\,€ \cdot \frac16 = 1\,€.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Faires Spiel
Fair
Der erwartete Reingewinn des Spielers ist genau 0 €
Reingewinn
Bruttoauszahlung minus Einsatz, ein Verlust ist negativ
Erwartungswert
jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und addieren
Wahrscheinlichkeiten
gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen, nicht Summenwerte
Fair machen
E(X) = 0 setzen und nach der Auszahlung auflösen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Würfelspiel: 2 € Einsatz, bei einer 6 werden 10 € ausgezahlt
- 1Reingewinn bei einer 6: 10 - 2 = 8 €, sonst -2 €
- 2Wahrscheinlichkeiten: P(6) = \frac16, P(\text{keine } 6) = \frac56
- 3E(X) = 8 \cdot \frac16 + (-2) \cdot \frac56 = \frac86 - \frac{10}{6} = -\frac13 €
- 4E(X) < 0: Das Spiel ist unfair, im Schnitt verliert der Spieler etwa 33 Cent pro Runde.
- 5Fair machen mit Auszahlung A: (A - 2) \cdot \frac16 + (-2) \cdot \frac56 = 0
- 6Mit 6 multiplizieren: A - 2 - 10 = 0, also A = 12 €
- 7Probe mit der Bruttoauszahlung: 12 \cdot \frac16 = 2, das ist genau der Einsatz.
Fehler finden
Glücksrad: Einsatz 2 €, mit Wahrscheinlichkeit 0,2 werden 5 € ausgezahlt, sonst nichts. Ist das Spiel fair? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier sind Bruttoauszahlung und Reingewinn vermischt. Im Gewinnfall ist der Reingewinn 5 - 2 = 3 €. Richtig: E(X) = 3 \cdot 0{,}2 + (-2) \cdot 0{,}8 = 0{,}6 - 1{,}6 = -1 €. Das Spiel ist unfair, der Spieler verliert im Schnitt 1 € pro Runde.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einem Einsatz von 3 € und einer Auszahlung von 5 € sind die 5 € . Nach Abzug des Einsatzes bleiben Reingewinn. Ein faires Spiel hat einen erwarteten Reingewinn von .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback