Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
h-Methode: Ableitungen Schritt für Schritt
Mit der h-Methode leitest du eine Funktion direkt aus der Definition der Ableitung ab. Du lernst den Rechenweg am Beispiel x² und die typischen Fehler.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die h-Methode bestimmt die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. Du formst den Zähler um, klammerst h aus, kürzt und lässt erst dann h gegen 0 gehen. Für f(x) = x^2 ergibt das f'(x) = 2x.
Mit der h-Methode leitest du eine Funktion direkt aus der Definition der Ableitung ab. Du berechnest zunächst Sekantensteigungen für einen Abstand h \ne 0 und lässt diesen Abstand anschließend gegen 0 gehen. Existiert der Grenzwert, erhältst du die Tangentensteigung und damit die Ableitung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Wähle auf dem Graphen von f zwei Punkte mit den x-Werten x und x + h. Ihr waagerechter Abstand ist h. Die Gerade durch beide Punkte heißt Sekante. Nun lässt du h gegen 0 gehen: Der zweite Punkt rückt immer näher an den ersten, und die Sekante nähert sich der Tangente. Aus den Sekantensteigungen wird so die Tangentensteigung.
Definition
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient \frac{f(x+h) - f(x)}{h} beschreibt für h \ne 0 die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x und x + h.
Definition
Differentialquotient
Der Grenzwert der Sekantensteigungen heißt Differentialquotient. Existiert er, ist er die Ableitung: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. f'(x) ist die Tangentensteigung an der Stelle x.
Merke: Der Differenzenquotient ist eine Sekantensteigung bei h \ne 0. Sein Grenzwert für h \to 0 ist die Tangentensteigung.
Teste dich
Die h-Methode ist ein fester Ablauf. Das Kürzen durch h ist erlaubt, weil während der Umformung h \ne 0 gilt. Erst ganz am Ende betrachtest du h \to 0. Für eine bestimmte Stelle x_0 gilt dieselbe Idee: f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Die Schreibweise mit x liefert die Ableitungsfunktion, die mit x_0 die Steigung an einer Stelle.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | die Formel der h-Methode aufschreiben |
| 2 | f(x+h) bilden: jedes x der Vorschrift durch x + h ersetzen |
| 3 | f(x+h) und f(x) in den Zähler einsetzen |
| 4 | Klammern auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen |
| 5 | h aus dem gesamten Zähler ausklammern |
| 6 | den gemeinsamen Faktor h kürzen |
| 7 | erst jetzt den Grenzwert für h \to 0 bestimmen |
Teste dich
Für f(x) = x^2 ist f(x+h) = (x+h)^2. Mit der ersten binomischen Formel wird daraus x^2 + 2xh + h^2. Die Terme x^2 und -x^2 heben sich auf, und im gesamten Zähler steckt der Faktor h. Das Ergebnis f'(x) = 2x gibt dir die Tangentensteigung an jeder Stelle. Du musst die h-Methode also nicht für jede Stelle neu durchrechnen.
Beispiel: Die Ableitung von x²
- 1f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
- 2= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
- 3= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}
- 4= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x
Beispiel: Die Steigung an der Stelle 3
- 1Mit der Ableitungsfunktion: f'(3) = 2 \cdot 3 = 6
- 2Direkt: f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h}
- 3= \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6
- 4Die Tangente an den Graphen hat bei x = 3 die Steigung 6.
Merke: Das Kürzen von h beseitigt die Division durch einen immer kleiner werdenden Abstand. Erst danach bestimmst du den Grenzwert.
Teste dich
h sofort gleich 0 setzen: Im ursprünglichen Quotienten steht h im Nenner. Mit h = 0 würdest du durch 0 teilen und \frac{0}{0} erhalten. Du darfst nur untersuchen, welchem Wert der umgeformte Ausdruck zustrebt. f(x+h) falsch bilden: Bei f(x) = x^2 gilt f(x+h) = (x+h)^2 und nicht x^2 + h. Das Argument x + h ersetzt jedes x der Vorschrift. h nur aus einem Summanden kürzen: In 2xh + h^2 ist h ein Faktor beider Summanden. Deshalb darfst du h aus dem gesamten Zähler ausklammern. Ohne gemeinsamen Faktor ist Kürzen nicht erlaubt.
| Falsch | Richtig |
|---|---|
| h = 0 in \frac{f(x+h) - f(x)}{h} einsetzen | erst umformen und kürzen, dann h \to 0 |
| f(x+h) = x^2 + h | f(x+h) = (x+h)^2 |
| \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h^2 | \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h |
Teste dich
Alles auf einen Blick
h-Methode
Ausgangspunkt
Sekantensteigung bei einem Abstand h \ne 0
Grenzübergang
h geht gegen 0, die Sekante nähert sich der Tangente
Formel
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
Algebra
einsetzen, umformen, h ausklammern und kürzen
Ergebnis für x²
aus f(x) = x^2 folgt f'(x) = 2x
Anwendung
f'(x_0) ist die Tangentensteigung an der Stelle x_0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Ableitung von f(x) = 2x² + x mit der h-Methode
- 1f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h
- 2f(x+h) - f(x) = 4xh + 2h^2 + h
- 3\frac{4xh + 2h^2 + h}{h} = \frac{h(4x + 2h + 1)}{h} = 4x + 2h + 1 für h \ne 0
- 4f'(x) = \lim_{h \to 0} (4x + 2h + 1) = 4x + 1
- 5Zum Beispiel an der Stelle 2: f'(2) = 4 \cdot 2 + 1 = 9
Fehler finden
Steigung von f(x) = x² an der Stelle 5 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Beim Quadrieren fehlt der mittlere Term der binomischen Formel: (5+h)^2 = 25 + 10h + h^2. Richtig ist \lim_{h \to 0} \frac{10h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (10 + h) = 10.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zuerst bildet man . Danach werden die Terme im Zähler . Erst nach dem Ausklammern und Kürzen von h bestimmt man den .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback