Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Momentane Änderungsrate einfach erklärt
Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung genau an einer Stelle. Du lernst, sie als Tangentensteigung zu deuten und mit der h-Methode zu berechnen.
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Kurz gesagt
Die momentane Änderungsrate gibt an, wie stark sich f genau an einer Stelle a ändert. Sie ist der Grenzwert der Sekantensteigungen, f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}, und grafisch die Steigung der Tangente. Bei einer Wegfunktion ist sie die Momentangeschwindigkeit.
Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie stark sich ein Funktionswert an einer bestimmten Stelle ändert. Sie ist die Steigung der Tangente am Graphen und entspricht der Ableitung f'(a), sofern der zugehörige Grenzwert existiert.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, f(t) gibt den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs an. Die mittlere Änderungsrate beantwortet die Frage: Wie schnell war das Fahrzeug durchschnittlich während eines Zeitintervalls? Für das Intervall [a; b] ist das \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, grafisch die Steigung einer Sekante durch zwei Graphenpunkte. Die momentane Änderungsrate fragt dagegen: Wie schnell ist es genau jetzt? Mehr zum Intervall-Durchschnitt findest du im Artikel Differenzenquotient.
Definition
Momentane Änderungsrate
Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung einer Größe an einer einzelnen Stelle a. Sie wird mit f'(a) bezeichnet und ist grafisch die Steigung der Tangente am Graphenpunkt (a\mid f(a)).
Beispiel: f(t) = t^2 zwischen t = 2 und t = 5 (t in s, f(t) in m)
- 1f(2) = 4 und f(5) = 25
- 2\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{25 - 4}{3} = 7
- 3Einheit: m/s
- 47 m/s ist ein Durchschnitt, nicht die Geschwindigkeit genau bei t = 2. Die ist nur 4 m/s, wie die h-Methode unten zeigt.
Teste dich
Um die Änderung genau bei a zu untersuchen, wählst du einen zweiten Punkt an der Stelle a + h. Seine Sekantensteigung ist \frac{f(a+h) - f(a)}{h} mit h \ne 0. Je näher h an null rückt, desto näher rückt der zweite Punkt an den ersten. Haben die Sekantensteigungen dabei einen eindeutigen endlichen Grenzwert, ist dieser die momentane Änderungsrate: f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} Die Sekante geht dabei in die Tangente über. Momentane Änderungsrate, Differentialquotient, Ableitung an der Stelle und Tangentensteigung meinen hier denselben Wert. Der Grenzwert muss aber nicht überall existieren: An einer Ecke nähern sich die Sekantensteigungen von links und von rechts verschiedenen Werten. Dann gibt es dort keine eindeutige Tangentensteigung. Auch der Taschenrechner hilft nur bedingt: Extrem kleine h rechnet er wegen begrenzter Genauigkeit nicht unbedingt besser.
Merke: Beim Grenzübergang wird nicht h=0 eingesetzt. Man untersucht, welchem Wert sich der Quotient für immer kleinere positive und negative Werte von h nähert.
Teste dich
Die h-Methode hat vier Schritte: Differenzenquotienten aufstellen, Zähler ausmultiplizieren, für h \ne 0 durch h kürzen und dann den Grenzwert bilden. Direkt h = 0 einzusetzen, würde \frac{0}{0} ergeben. Das Kürzen ist erlaubt, weil der Quotient bis dahin nur für h \ne 0 betrachtet wird. Probiere es selbst: Bestimme mit der h-Methode die momentane Änderungsrate von f(x) = 4 - x^2 bei a = 1.
Beispiel: f(x) = x^2 bei a = 2
- 1Aufstellen: \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}
- 2Ausmultiplizieren: (2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2
- 3Für h \ne 0 kürzen: \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
- 4Grenzwert: f'(2) = \lim_{h \to 0}(4 + h) = 4
- 5Die Tangente im Punkt (2 \mid 4) hat die Steigung 4.
Teste dich
Bei einer Wegfunktion s(t) ist s(t) der zurückgelegte Weg. Die momentane Änderungsrate s'(t) ist dagegen die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. Verwechsle die beiden nicht: Funktionswert und Änderungsrate haben verschiedene Einheiten. Achte auch auf das Vorzeichen: Eine negative Rate heißt, dass die Größe gerade abnimmt.
Beispiel: Weg s(t) = 0{,}2t^2 bei t = 10 (t in s, s in m)
- 1s(10) = 0{,}2 \cdot 10^2 = 20
- 2\frac{s(10+h) - s(10)}{h} = \frac{0{,}2(10+h)^2 - 20}{h}
- 3Zähler: 0{,}2(10+h)^2 - 20 = 20 + 4h + 0{,}2h^2 - 20 = 4h + 0{,}2h^2
- 4Für h \ne 0 kürzen: \frac{4h + 0{,}2h^2}{h} = 4 + 0{,}2h
- 5s'(10) = \lim_{h \to 0}(4 + 0{,}2h) = 4
- 6Bei t = 10 s fährt das Fahrzeug mit 4 m/s. Zurückgelegt hat es bis dahin 20 m.
Merke: Die Einheit einer Änderungsrate ist „Einheit der abhängigen Größe pro Einheit der unabhängigen Größe“, zum Beispiel Meter pro Sekunde oder Zentimeter pro Tag.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Momentane Änderungsrate
Bedeutung
Änderung an einer einzelnen Stelle, geschrieben f'(a)
Grenzwert
die Sekantensteigungen für h \to 0 ergeben den Differentialquotienten
Grafik
Steigung der Tangente im Punkt (a \mid f(a))
h-Methode
aufstellen, für h ≠ 0 kürzen, dann den Grenzwert bilden
Sachzusammenhang
bei Wegfunktionen die Momentangeschwindigkeit, immer mit Einheit
Existenz
nur, wenn links und rechts derselbe endliche Grenzwert herauskommt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Momentane Änderungsrate von f(x) = 2x^2 + 1 bei a = 3
- 1f(3) = 2 \cdot 3^2 + 1 = 19
- 2f(3+h) = 2(3+h)^2 + 1 = 19 + 12h + 2h^2
- 3\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{12h + 2h^2}{h}
- 4Für h \ne 0 kürzen: \frac{12h + 2h^2}{h} = 12 + 2h
- 5f'(3) = \lim_{h \to 0}(12 + 2h) = 12
Fehler finden
Momentane Änderungsrate von f(x) = 4 - x^2 bei a = 2 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das Minus vor der Klammer wirkt auf alle Terme: 4 - (4 + 4h + h^2) = -4h - h^2. Dann folgt \frac{-4h - h^2}{h} = -4 - h und f'(2) = -4.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer . Die momentane Änderungsrate erhältst du als der Sekantensteigungen für h \to 0. Bei einer Wegfunktion ist sie die zu diesem Zeitpunkt.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback