Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Geometrische Reihe: Formel, Grenzwert, Beispiele
Eine geometrische Reihe addiert die Glieder einer geometrischen Folge. Du lernst die Summenformel, den Sonderfall q = 1 und wann die Reihe konvergiert.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine geometrische Reihe ist die Summe a + aq + aq^2 + \ldots + aq^n. Für q \ne 1 gilt S_n = a \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}, für q = 1 einfach S_n = (n + 1) \cdot a. Die unendliche Reihe mit a \ne 0 konvergiert genau für |q| < 1, ihr Wert ist dann \frac{a}{1 - q}.
Eine geometrische Reihe entsteht, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst: Von einem Summanden zum nächsten wird immer mit demselben Faktor q multipliziert. Eine endliche Summe kannst du für jedes q berechnen. Eine unendliche geometrische Reihe hat nur für |q| < 1 einen endlichen Grenzwert.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes neue Glied, indem du das vorige mit demselben Faktor q multiplizierst. Beginnst du mit a, lauten die Glieder a, aq, aq^2, aq^3, \ldots Addierst du sie, erhältst du eine geometrische Reihe: S_n = \sum_{k=0}^{n} aq^k = a + aq + aq^2 + \ldots + aq^n. Der Index startet bei 0. Deshalb enthält S_n genau n + 1 Summanden, und der höchste Exponent ist n.
Definition
Geometrische Reihe
Eine Summe ist geometrisch, wenn ihre Summanden die Form aq^k haben: Jeder Summand entsteht aus dem vorigen durch Multiplikation mit demselben Faktor q. Das gilt auch für q = 0, etwa bei 5 + 0 + 0 + … Solange der vorige Summand nicht 0 ist, bestimmst du q als Quotienten zweier benachbarter Summanden.
Teste dich
Für q \ne 1 gilt die geometrische Summenformel S_n = a \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Sie entsteht mit einem Trick: Multipliziere S_n mit q und ziehe das Ergebnis von S_n ab. In S_n - qS_n heben sich alle mittleren Summanden auf. Übrig bleibt S_n(1 - q) = a(1 - q^{n+1}). Für q \ne 1 darfst du durch 1 - q teilen und erhältst die Formel.
Beispiel: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 berechnen
- 1a = 2, q = 3, Exponenten 0 bis 4, also n = 4 und 5 Summanden
- 2S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 242
- 3Probe: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242
Merke: Prüfe vor dem Einsetzen: Wo startet der Index, wie viele Summanden gibt es, und welcher Exponent ist der höchste? Bei k = 0 bis k = n sind es n + 1 Summanden.
Teste dich
Bei q = 1 wäre der Nenner 1 - q = 0. Die Bruchformel darfst du dann nicht verwenden. Die Summe ist trotzdem einfach, denn jeder Summand ist gleich a. Von k = 0 bis k = n addierst du n + 1 gleiche Summanden: S_n = (n + 1) \cdot a.
Beispiel: a = 4, q = 1, k = 0 bis k = 5
- 1Das sind 6 gleiche Summanden.
- 2S_5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 \cdot 4 = 24
Teste dich
Eine unendliche Reihe verstehst du über ihre Partialsummen S_0, S_1, S_2, \ldots: Nähern sie sich einem festen Wert? In S_n = a \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} geht q^{n+1} genau für |q| < 1 gegen 0. Dann konvergieren die Partialsummen, und es gilt \sum_{k=0}^{\infty} aq^k = \frac{a}{1 - q}. Für |q| \ge 1 gehen die Summanden bei a \ne 0 nicht gegen 0, die Reihe divergiert. Das gilt auch für q = 1 und q = -1. Ein negatives q verhindert die Konvergenz nicht: Entscheidend ist nur der Betrag.
Beispiel: 9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + \ldots untersuchen
- 1a = 9 und q = -\frac{1}{3}
- 2|q| = \frac{1}{3} < 1, die Reihe konvergiert.
- 3\frac{a}{1 - q} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = \frac{27}{4} = 6{,}75
- 4Die Partialsummen 9; 6; 7; 6{,}\overline{6}; … pendeln um 6,75 und nähern sich 6,75.
Merke: Konvergenz hängt nur am Betrag von q: Für |q| < 1 ist der Grenzwert \frac{a}{1 - q}, für |q| \ge 1 divergiert die Reihe (bei a \ne 0).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Geometrische Reihe
Erkennen
Jeder Summand ist der vorige mal q, allgemein aq^k
Zählen
Von k = 0 bis k = n sind es n + 1 Summanden
Endliche Summe
S_n = a \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} für q \ne 1
Sonderfall
Bei q = 1 gilt S_n = (n + 1) \cdot a
Unendliche Reihe
Für |q| < 1 ist der Wert \frac{a}{1 - q}, für |q| \ge 1 divergiert sie (bei a \ne 0)
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie weit kommt der Frosch?
- 1Ein Frosch springt 1 m, danach jedes Mal halb so weit wie zuvor.
- 2Sprungweiten 1 m; 0,5 m; 0,25 m; … also a = 1 und q = 0{,}5
- 3Nach 5 Sprüngen: S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 0{,}5^5}{1 - 0{,}5} = \frac{0{,}96875}{0{,}5} = 1{,}9375
- 4Unendlich viele Sprünge: |q| = 0{,}5 < 1, also \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{0{,}5} = 2
- 5Nach 5 Sprüngen ist der Frosch 1,9375 m weit. Weiter als 2 m kommt er nie.
Fehler finden
2 + 10 + 50 + 250 berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In Zeile 2 fehlt ein Summand: Bei n = 3 gibt es 4 Summanden, im Zähler steht 5^{n+1} = 5^4. Richtig: S_3 = 2 \cdot \frac{1 - 625}{1 - 5} = 2 \cdot 156 = 312.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Summe von k = 0 bis k = n hat Summanden. Für q = 1 ist die Bruchformel . Eine unendliche geometrische Reihe mit a \ne 0 konvergiert genau dann, wenn der Betrag von q als 1 ist.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback