Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Differenzierbarkeit prüfen und verstehen
Differenzierbar heißt: Der Graph hat an einer Stelle eine eindeutige Tangente mit endlicher Steigung. Du lernst, das zu prüfen und Knicke zu erkennen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Funktion f ist an einer Stelle x_0 differenzierbar, wenn der Differenzenquotient \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} für h \to 0 von links und rechts denselben endlichen Grenzwert hat. Dieser Grenzwert ist f'(x_0). Die Betragsfunktion |x| ist bei 0 nicht differenzierbar: Ihr Graph hat dort einen Knick.
Fährst du mit dem Fahrrad um eine scharfe Ecke, musst du plötzlich die Richtung wechseln. Auf einer sanften Kurve zeigt dein Lenker an jeder Stelle eine klare Richtung. Genau das fragt die Differenzierbarkeit: Hat der Graph an einer Stelle eine eindeutige Tangente mit endlicher Steigung? Rechnerisch muss der Differenzenquotient einen endlichen Grenzwert haben. Hier lernst du, das zu prüfen, typische Gründe für fehlende Differenzierbarkeit zu erkennen und den Zusammenhang mit der Stetigkeit zu verstehen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Wählst du auf dem Graphen die Punkte P_1(x_0 \mid f(x_0)) und P_2(x \mid f(x)), ist \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} die Steigung ihrer Verbindungsgeraden, der Sekante. Sie beschreibt die mittlere Änderung zwischen beiden Punkten. Rückt x immer näher an x_0, kann sich die Sekantensteigung einer festen Zahl nähern. Diese Zahl ist die Steigung der Tangente und heißt Ableitung f'(x_0). Mit x = x_0 + h erhältst du die gleichwertige h-Methode: f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Für h < 0 näherst du dich von links, für h > 0 von rechts.
Definition
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f ist an einer inneren Stelle x_0 ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der zweiseitige Grenzwert f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} existiert und eine endliche reelle Zahl ist.
Merke: Differenzierbar heißt mehr als „der Graph sieht glatt aus“: Von links und von rechts muss derselbe endliche Grenzwert des Differenzenquotienten entstehen.
Teste dich
Gehe bei einer inneren Stelle x_0 so vor. Prüfe zuerst, ob f(x_0) definiert ist. Setze dann f(x_0 + h) und f(x_0) in den Differenzenquotienten ein und vereinfache ihn für h \neq 0. Bestimme danach den Grenzwert für h \to 0. Bei einem Betrag oder einem Formelwechsel untersuchst du die Annäherung von links und von rechts getrennt. Ein endlicher gemeinsamer Grenzwert ist f'(x_0). Verschiedene einseitige Grenzwerte, gar kein Grenzwert oder ein unbegrenztes Wachsen bedeuten: Die Funktion ist dort nicht differenzierbar.
Beispiel: f(x) = x^2 an einer beliebigen Stelle x_0
- 1\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0 + h)^2 - x_0^2}{h}
- 2Ausmultiplizieren: \frac{2x_0 h + h^2}{h}
- 3Kürzen (erlaubt, weil h \neq 0): 2x_0 + h
- 4Grenzwert für h \to 0: f'(x_0) = 2x_0
- 5Der Wert ist für jedes x_0 endlich: f ist auf ganz \mathbb{R} differenzierbar.
Teste dich
Bei einem Knick sind die Steigungen von links und rechts verschieden. Bei einem Formelwechsel vergleichst du an der Nahtstelle zuerst die Werte, dann die Steigungen. Betrachte f(x) = x^3 für x \le 1 und f(x) = -x + 2 für x > 1. Beide Teile liefern bei 1 den Wert 1, f ist dort also stetig. Links ist die Steigung aber 3 \cdot 1^2 = 3, rechts -1. Deshalb ist f bei 1 nicht differenzierbar. Bei einer Oszillation schwankt der Differenzenquotient immer weiter: Für f(x) = x \sin(1/x) mit f(0) = 0 ist er bei 0 gleich \sin(1/x) und pendelt zwischen -1 und 1, ohne sich einem Wert zu nähern.
Beispiel: Knick: f(x) = |x| bei x_0 = 0
- 1Von rechts (h > 0): \frac{|h| - 0}{h} = \frac{h}{h} = 1
- 2Von links (h < 0): \frac{|h| - 0}{h} = \frac{-h}{h} = -1
- 3Die einseitigen Grenzwerte 1 und −1 sind verschieden.
- 4Also ist |x| bei 0 nicht differenzierbar.
| Ursache | Beispiel | Was passiert? |
|---|---|---|
| Knick | |x| bei 0 | Steigung links −1, rechts 1 |
| Formelwechsel | x^3 und -x + 2 bei 1 | Steigung links 3, rechts −1 |
| Oszillation | x \sin(1/x) bei 0 | Quotient pendelt, kein Grenzwert |
| Senkrechte Tangente | \sqrt{x} bei 0 | Quotient wächst unbegrenzt |
| Sprung | Unstetigkeitsstelle | nicht stetig, also nicht differenzierbar |
Teste dich
Differenzierbarkeit erzwingt Stetigkeit. Für x \neq x_0 gilt nämlich f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0). Der erste Faktor hat einen endlichen Grenzwert, der zweite geht gegen 0. Also geht auch f(x) - f(x_0) gegen 0. Am Rand des Definitionsbereichs kannst du dich nur von einer Seite nähern. Für w(x) = \sqrt{x} ist der Quotient bei 0 gleich \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}. Er wächst für x \to 0 von rechts unbegrenzt: Der Graph hat dort eine senkrechte Tangente ohne endliche Steigung. Ein endlicher einseitiger Grenzwert am Rand heißt einseitige Differenzierbarkeit. Differenzierbar heißt außerdem: Nahe x_0 ist die Tangente eine sehr gute Näherung, f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). Die Ableitungsfunktion selbst muss nicht stetig sein. Ist sie es, heißt f stetig differenzierbar. Gibt es weitere Ableitungen, heißt f zwei-, drei- oder n-mal differenzierbar.
Merke: Es gilt: differenzierbar ⇒ stetig. Die Umkehrung ist falsch: f(x) = |x| ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar.
Beispiel: Lineare Näherung für f(x) = x^2 bei x_0 = 2
- 1f(2) = 4 und f'(2) = 2 \cdot 2 = 4
- 2Näherung: f(x) \approx 4 + 4(x - 2)
- 3Für x = 2{,}1: 4 + 4 \cdot 0{,}1 = 4{,}4
- 4Genau: 2{,}1^2 = 4{,}41, der Fehler ist nur 0{,}01.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Differenzierbarkeit
Prüfung
Der Differenzenquotient hat bei x_0 einen endlichen zweiseitigen Grenzwert
Geometrie
eindeutige Tangente mit endlicher Steigung
Stetigkeit
folgt aus Differenzierbarkeit, reicht allein aber nicht
Scheitern
Knick, Sprung, Oszillation oder senkrechte Tangente
Randpunkt
nur einseitige Prüfung möglich
Näherung
f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ist f bei 2 differenzierbar? f(x) = x^2 für x \le 2, f(x) = 4x - 4 für x > 2
- 1Werte an der Naht: 2^2 = 4 und 4 \cdot 2 - 4 = 4, also ist f stetig.
- 2Steigung links: (x^2)' = 2x, bei 2 also 2 \cdot 2 = 4
- 3Steigung rechts: (4x - 4)' = 4
- 4Beide Steigungen sind 4: f ist bei 2 differenzierbar mit f'(2) = 4.
Fehler finden
Ist f(x) = |x - 3| bei x_0 = 3 differenzierbar? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Stetigkeit reicht nicht. Links von 3 ist die Steigung -1, rechts 1: Der Graph hat bei 3 einen Knick. Also ist f bei 3 nicht differenzierbar.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die lokale lineare Näherung an x_0 lautet . Ist zusätzlich die Ableitungsfunktion stetig, heißt f . Eine senkrechte Tangente hat Steigung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback