Normale berechnen: Formel, Beispiel und Sonderfall

Betrachte den Punkt P(x_0\mid f(x_0)) auf dem Graphen einer Funktion. Die Tangente berührt den Graphen dort und hat dieselbe Steigung wie der Graph. Die Normale verläuft ebenfalls durch P, steht aber im rechten Winkel zur Tangente. Die Tangentensteigung erhältst du aus der ersten Ableitung: m_T=f'(x_0) Sind beide Geraden nicht vertikal und ist m_T\neq 0, gilt: m_T\cdot m_N=-1 Daher ist die Normalensteigung der negative Kehrwert der Tangentensteigung: m_N=-\frac{1}{m_T} „Kehrwert“ bedeutet: Zähler und Nenner werden vertauscht. „Negativ“ bedeutet: Das Vorzeichen wird zusätzlich gewechselt. Aus m_T=2 wird deshalb m_N=-\frac12.

Gegeben sind eine Funktion f und eine Stelle x_0 mit f'(x_0)\neq 0. Berechne zuerst den Punkt mit y_0=f(x_0). Bilde dann die Ableitung und die Tangentensteigung m_T=f'(x_0). Daraus erhältst du die Normalensteigung m_N=-\frac{1}{m_T}. Zum Schluss setzt du Punkt und Steigung in die Punktsteigungsform ein: n(x)=m_N(x-x_0)+y_0 Da y_0=f(x_0) gilt, kannst du auch direkt schreiben: n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0) Möchtest du die Form n(x)=m_Nx+b, berechnest du den Achsenabschnitt mit b=y_0-m_Nx_0.

Ist f'(x_0)=0, ist die Tangente waagerecht. Dann darfst du nicht durch 0 teilen. Die Normale ist in diesem Fall die senkrechte Gerade x=x_0. Sie lässt sich nicht als Funktion n(x)=mx+b schreiben. Achte außerdem auf die typischen Fehler. Vorzeichen vergessen: Aus m_T=5 folgt m_N=-\frac15, nicht \frac15. Nur das Vorzeichen wechseln: Aus m_T=-2 folgt m_N=\frac12, nicht 2. Falschen Punkt einsetzen: Beide Geraden müssen durch P(x_0\mid f(x_0)) verlaufen. Klammer falsch auflösen: Prüfe die ausmultiplizierte Gleichung, indem du den Punkt einsetzt.