Mittlere Änderungsrate berechnen und deuten

Betrachte ein Intervall [a; b] mit a \ne b. Auf dem Graphen liegen die Randpunkte A(a \mid f(a)) und B(b \mid f(b)). Die Gerade durch diese beiden Punkte heißt Sekante. Berechnet wird die mittlere Änderungsrate mit dem Differenzenquotienten: m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} Im Zähler steht die Änderung der Funktionswerte, im Nenner die Änderung der x-Werte. Kurz: Änderung nach oben oder unten geteilt durch Änderung nach rechts. Was dazwischen passiert, spielt keine Rolle: Du brauchst nur Anfang und Ende. Mehr zur Formel selbst findest du im Artikel Differenzenquotient.

Gehe in vier Schritten vor: Lies die Intervallgrenzen a und b ab. Bestimme f(a) und f(b). Setze die vier Werte in den Differenzenquotienten ein. Prüfe zum Schluss Vorzeichen, Einheit und Bedeutung des Ergebnisses.

Das Vorzeichen zeigt, wie sich End- und Anfangswert unterscheiden. Die Einheit ist die Einheit von f(x) pro Einheit von x, zum Beispiel Keime pro Minute oder °C pro Minute. Beim Abkühlen eines Kuchens ergibt sich in den ersten elf Minuten eine mittlere Änderungsrate von ungefähr −5,9 °C pro Minute. Das Minus bedeutet: Die Temperatur sinkt. In Worten kühlt der Kuchen im Schnitt um etwa 5,9 °C pro Minute ab. Ein Graph kann im Intervall auch zuerst fallen und danach stärker steigen. Liegt der Endwert trotzdem über dem Anfangswert, ist die mittlere Änderungsrate positiv.

Die mittlere Änderungsrate beschreibt ein ganzes Intervall. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten, grafisch ist sie eine Sekantensteigung. Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung an einer einzelnen Stelle. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente, rechnerisch der Wert der Ableitung. Rücken die beiden Randpunkte einer Sekante immer näher zusammen, nähert sich die Sekante der Tangente. So führt die mittlere zur momentanen Änderungsrate.