Differenzenquotient einfach erklärt

Betrachte zwei verschiedene Stellen x_1 und x_2 einer Funktion f. Dazu gehören die Punkte P(x_1 \mid f(x_1)) und Q(x_2 \mid f(x_2)). Die Gerade durch diese beiden Punkte heißt Sekante. Der Differenzenquotient ist ihre Steigung. Er gibt an, um wie viel sich f(x) im Durchschnitt pro Einheit in x-Richtung ändert. Er sagt nicht, wie steil der Graph an jedem einzelnen Punkt des Intervalls ist.

Gehe in vier Schritten vor. Berechne zuerst f(x_1) und f(x_2). Bilde im Zähler f(x_2) - f(x_1). Bilde im Nenner x_2 - x_1 in derselben Reihenfolge. Teile dann und deute das Ergebnis. Tauschst du die Reihenfolge, musst du es in Zähler und Nenner tun. Dann ändern beide Differenzen ihr Vorzeichen, und der Quotient bleibt gleich: \frac{f(1) - f(3)}{1 - 3} = \frac{2 - 10}{-2} = 4. Setze Funktionswerte immer in Klammern ein, besonders wenn sie negativ sind.

In Sachaufgaben haben die Größen Einheiten. Der Differenzenquotient hat dann die Einheit „Einheit der abhängigen Größe pro Einheit der unabhängigen Größe“, zum Beispiel km/h oder cm pro Tag. Unterscheide dabei zwei Dinge. Die Gesamtänderung ist die Differenz im Zähler. Die mittlere Änderungsrate verteilt sie auf die Länge des Intervalls. Beschreibt h(x) = x^2 die Höhe einer Pflanze in cm nach x Tagen, wächst sie zwischen Tag 1 und Tag 3 insgesamt um 9 cm − 1 cm = 8 cm. Im Schnitt sind das 8 cm : 2 Tage = 4 cm pro Tag. Ein anderes Intervall kann eine andere mittlere Änderung liefern.

Für die Steigung an genau einer Stelle lässt du den zweiten Punkt immer näher an den ersten rücken. Die Sekante nähert sich dabei der Tangente. Du setzt den Abstand aber nicht einfach null, sondern bildest einen Grenzwert: f'(x_1) = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. Schreibst du die Stellen als x und x + h, entsteht die h-Methode: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. Setze dabei nie sofort h = 0 ein, sonst teilst du durch null. Vereinfache den Quotienten zuerst für h \neq 0 und bilde danach den Grenzwert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient.