Sekante: Definition, Steigung und Gleichung

Stell dir eine Gerade vor, die durch einen Kreis läuft: Sie tritt an einer Stelle ein und an einer anderen wieder aus. Diese beiden Stellen sind ihre Schnittpunkte mit dem Kreis. Am Kreis unterscheidest du Geraden nach ihren gemeinsamen Punkten: Eine Sekante hat zwei Schnittpunkte, eine Tangente genau einen Berührpunkt und eine Passante keinen. Eine Sekante durch den Mittelpunkt heißt Zentrale. In der Oberstufe brauchst du die Sekante vor allem am Funktionsgraphen, als Gerade durch zwei Punkte des Graphen.

Wählst du zwei verschiedene Stellen x_1 und x_2 eines Funktionsgraphen, erhältst du die Punkte P(x_1\mid f(x_1)) und Q(x_2\mid f(x_2)). Die Gerade durch P und Q ist die Sekante. Ihre Steigung ist m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} Dabei muss x_1\ne x_2 gelten, weil eine Division durch null nicht möglich ist. Dieser Quotient heißt auch Differenzenquotient. Die Sekantensteigung beschreibt die durchschnittliche Änderungsrate: Der Zähler gibt die Änderung der Funktionswerte an, der Nenner die Änderung der x-Werte. Bei einer Weg-Zeit-Funktion entspricht diese Idee der Durchschnittsgeschwindigkeit über einen Zeitraum. Sie sagt nicht, wie schnell sich etwas in einem einzelnen Moment bewegt.

Eine nicht senkrechte Gerade lässt sich als y = mx + b schreiben: m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt. Für zwei Punkte P(x_1 \mid y_1) und Q(x_2 \mid y_2) berechnest du zuerst m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Dann setzt du m und einen Punkt in y = mx + b ein und löst nach b auf. Zum Schluss prüfst du mit dem anderen Punkt. Ist eine Funktion mit zwei Stellen x_1 und x_2 gegeben, berechnest du zuerst die Funktionswerte. Typische Fehler: Zähler und Nenner in verschiedener Reihenfolge bilden, ein Minuszeichen vor einer negativen Zahl übersehen, Achsenabschnitt und Steigung verwechseln, nur die Sehne statt der ganzen Sekante zeichnen. Zum Zeichnen markierst du (0 \mid b) auf der y-Achse und gehst von dort 1 nach rechts und m nach oben.

Die Sekante verbindet zwei verschiedene Graphenpunkte und beschreibt die durchschnittliche Änderung zwischen ihnen. Eine Tangente gehört zu einem einzelnen Graphenpunkt und beschreibt dort die momentane Änderung. Ihre Steigung bestimmst du mit der Ableitung f'(x_0). Rücken die beiden Punkte der Sekante immer näher zusammen, nähert sich ihre Steigung der Tangentensteigung an. Diesen Grenzübergang lernst du beim Ableitungsbegriff genauer kennen. Für eine Sekantengleichung reichen zwei verschiedene Punkte.