Folgen und Reihen: Regeln, Grenzwerte, Summen

Eine reelle Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Der Index n bezeichnet die Position, a_n das Folgenglied an dieser Position. Anders als in einer Menge darf derselbe Wert mehrfach vorkommen. Der Startindex muss angegeben sein, denn eine Folge kann zum Beispiel bei n = 0 oder bei n = 1 beginnen. Bei einer Rekursion rechnest du Schritt für Schritt. Eine explizite Formel liefert dagegen auch ein weit entferntes Glied direkt.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz benachbarter Glieder konstant: a_{n+1} - a_n = d. Beginnt die Folge bei n = 1, gilt a_n = a_1 + (n - 1)d Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient benachbarter, von null verschiedener Glieder konstant: \frac{a_{n+1}}{a_n} = q. Für Startindex n = 1 gilt a_n = a_1 q^{n-1} Mehr zum ersten Muster findest du im Artikel Arithmetische Folge.

Eine Folge ist monoton wachsend, wenn a_{n+1} \ge a_n für alle betrachteten Indizes gilt. Sie ist monoton fallend, wenn a_{n+1} \le a_n gilt. Die Schritte müssen dabei nicht gleich groß sein. Eine Folge ist beschränkt, wenn alle Glieder zwischen einer unteren und einer oberen Schranke liegen. Beschränktheit allein reicht nicht für Konvergenz: a_n = (-1)^n bleibt zwischen −1 und 1, springt aber dauerhaft hin und her. Jede beschränkte und monotone reelle Folge konvergiert dagegen. Der Satz sagt, dass es einen Grenzwert gibt, aber nicht, wie groß er ist.

Eine endliche Summe schreibst du mit dem Summenzeichen: \sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Der Laufindex k nimmt nacheinander alle ganzen Werte von der Unter- bis zur Obergrenze an. Verwechsle Folge und Reihe nicht: a_n ist ein einzelnes Glied, s_n die Summe der ersten n Glieder. Konvergiert eine Reihe, dann gilt a_k \to 0. Die Umkehrung gilt nicht. Für eine geometrische Folge a_k = a_1 q^{k-1} mit q \ne 1 ist s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} Bei |q| < 1 geht q^n gegen 0, und die unendliche Reihe hat die Summe \sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1} = \frac{a_1}{1 - q} Auch ein negatives q wie q = -\frac{1}{2} ist erlaubt: Die Vorzeichen wechseln, aber es zählt nur der Betrag |q|. Für a_1 \ne 0 und |q| \ge 1 divergiert sie. Ist a_1 = 0, besteht sie nur aus Nullen und konvergiert gegen 0. Im Sonderfall q = 1 gilt s_n = n \cdot a_1.