Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Erwartungswert berechnen und richtig deuten
Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt eines Zufallsexperiments. Du lernst, ihn zu berechnen, zu deuten und Spiele auf Fairness zu prüfen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Erwartungswert E(X) ist der theoretische Durchschnitt einer Zufallsgröße bei sehr vielen Wiederholungen. Du multiplizierst jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst die Produkte: E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i). Beim fairen Würfel ist E(X)=3{,}5.
Du würfelst sehr oft hintereinander. Welche Augenzahl kommt im Durchschnitt heraus? Genau das beschreibt der Erwartungswert: den theoretischen Durchschnitt einer Zufallsgröße bei sehr vielen Wiederholungen. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alle Produkte addierst. Für einen einzelnen Versuch sagt er aber nichts sicher voraus.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Beim Würfeln kann X die Augenzahl sein, bei einem Glücksspiel der Nettogewinn in Euro. Beim fairen Würfel nimmt X die Werte 1 bis 6 an, jeden mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}. Für eine solche diskrete Zufallsgröße gilt: E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i) Der Erwartungswert ist also ein gewichtetes Mittel: Werte mit größerer Wahrscheinlichkeit zählen stärker. Du gehst in drei Schritten vor: Notiere alle möglichen Werte x_i. Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Addiere alle Produkte.
Definition
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt alle möglichen Werte x_i einer Zufallsgröße und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x_i). Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1 beziehungsweise 100\,\%.
Beispiel: Erwartungswert der Augenzahl beim fairen Würfel
- 1E(X)=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}
- 2Alle Wahrscheinlichkeiten sind gleich, also zusammenfassen:
- 3E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5
- 4Auf lange Sicht ist die mittlere Augenzahl 3,5. Würfeln kannst du 3,5 nie.
Merke: Multipliziere zuerst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Addiere anschließend die Produkte.
Teste dich
Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen theoretischen Durchschnitt. Das Mittel aus tatsächlich beobachteten Versuchen kann davon abweichen. Stell dir einen Zufallsgenerator vor, der 0 und 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgibt. Dann ist E(X)=0{,}5. In einer kurzen Versuchsreihe kommt aber selten genau 0,5 heraus. Bei vielen Wiederholungen nähert sich das beobachtete Mittel typischerweise dem Erwartungswert an. Einzelne Versuchsreihen können trotzdem schwanken.
Beispiel: Beobachtetes Mittel beim Zufallsgenerator mit 0 und 1
- 1Erwartungswert: E(X)=0{,}5
- 25 Durchgänge: 0, 1, 0, 0, 1, Mittel \frac{2}{5}=0{,}4
- 320 Durchgänge: 11 Nullen, 9 Einsen, Mittel \frac{9}{20}=0{,}45
- 4Beide Mittel weichen ab, das zweite liegt schon näher an 0,5.
Merke: Der Erwartungswert muss kein möglicher Einzelwert sein. Beim Würfel sind nur 1 bis 6 möglich, obwohl der Erwartungswert 3,5 beträgt.
Teste dich
Bei einem Glücksspiel legst du zuerst die Perspektive fest. Aus Sicht des Spielers ist eine passende Zufallsgröße: \text{Nettogewinn}=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz} Ist E(X)<0, verliert der Spieler auf lange Sicht im Durchschnitt. Bei E(X)=0 ist das Spiel fair. Bei E(X)>0 gewinnt der Spieler im Durchschnitt. Du kannst auch zuerst die erwartete Auszahlung berechnen und dann einmal den Einsatz abziehen.
| Auszahlung | Wahrscheinlichkeit | Beitrag zur erwarteten Auszahlung |
|---|---|---|
| 5 € | \frac{2}{10} | 1 € |
| 3 € | \frac{3}{10} | 0,90 € |
| 0 € | \frac{5}{10} | 0 € |
Beispiel: Glücksrad: Ein Dreh kostet 2 €
- 1Erwartete Auszahlung: 1 € + 0,90 € + 0 € = 1,90 €
- 2Einsatz abziehen: E(X)=1{,}90\,\text{€}-2{,}00\,\text{€}=-0{,}10\,\text{€}
- 3Der Spieler verliert im Schnitt 0,10 € pro Dreh.
- 4Das Spiel ist nicht fair.
Merke: Baue den Einsatz entweder in jeden Nettogewinn ein oder ziehe ihn einmal von der erwarteten Auszahlung ab. Machst du beides, zählst du den Einsatz doppelt.
Teste dich
Zwei Spiele können denselben Erwartungswert haben, obwohl ihre Ergebnisse unterschiedlich stark schwanken. Die Standardabweichung misst, wie stark die möglichen Werte um den Erwartungswert streuen. Ein Beispiel: Bei einem Würfelspiel erhältst du bei 1 oder 4 jeweils 5 €. Bei 2, 3, 5 oder 6 zahlst du 2 €. Der Nettogewinn X ist also 5 € mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{3} und -2 € mit der Wahrscheinlichkeit \frac{2}{3}. Der Erwartungswert ist positiv, die Standardabweichung beträgt aber etwa 3,3 €. Die Ergebnisse streuen also stark im Vergleich zum kleinen erwarteten Gewinn. Ein positiver Erwartungswert garantiert keinen Gewinn in einem einzelnen Spiel.
| X | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 5 € | \frac{1}{3} |
| -2 € | \frac{2}{3} |
Beispiel: Erwartungswert des Würfelspiels
- 1E(X)=5\cdot\frac{1}{3}+(-2)\cdot\frac{2}{3}
- 2E(X)=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\approx0{,}33
- 3Im Schnitt gewinnst du etwa 0,33 € pro Spiel.
- 4Jedes einzelne Spiel endet aber mit +5 € oder −2 €.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Erwartungswert
Grundlage
alle Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten
Rechnung
jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit malnehmen, dann addieren
Bedeutung
theoretischer Durchschnitt auf lange Sicht
Abgrenzung
keine Vorhersage für ein einzelnes Ergebnis
Glücksspiel
fair, wenn der erwartete Nettogewinn 0 ist
Risiko
die Standardabweichung beschreibt die Streuung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ist das Glücksrad fair? Einsatz 1 €, Auszahlung 4 € mit 18, 2 € mit 14, sonst nichts
- 1Nettogewinne: 4 € − 1 € = 3 €, 2 € − 1 € = 1 €, 0 € − 1 € = −1 €
- 2Niete: 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}
- 3E(X)=3\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+(-1)\cdot\frac{5}{8}
- 4E(X)=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}-\frac{5}{8}=0
- 5Der erwartete Nettogewinn ist 0 €: Das Spiel ist fair.
Fehler finden
Ein Los kostet 1 €. Mit 10 % Wahrscheinlichkeit gewinnst du 5 €, sonst nichts. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Der Einsatz steckt schon in den Nettogewinnen 4 € und −1 €. Er darf nicht noch einmal abgezogen werden. Richtig ist E(X)=-0{,}5: Du verlierst im Schnitt 0,50 € pro Los.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Erwartungswert wird jeder mögliche Wert mit seiner . Anschließend werden die Produkte .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback