Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Differentialquotient: Ableitung als Grenzwert
Der Differentialquotient ist der Grenzwert von Sekantensteigungen. Du lernst, ihn mit der h-Methode zu berechnen, zu deuten und seine Grenzen zu erkennen.
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Kurz gesagt
Der Differentialquotient ist der Grenzwert der Sekantensteigungen an einer Stelle: f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. Er gibt die Steigung der Tangente und die lokale Änderungsrate an. Existiert der Grenzwert, ist f an dieser Stelle differenzierbar.
Ein Blitzer interessiert sich nicht dafür, wie schnell du im Schnitt der letzten Stunde warst. Er misst, wie schnell du genau in diesem Moment fährst. Genau diesen Schritt von der Durchschnitts- zur Momentangeschwindigkeit macht der Differentialquotient. Er ist der Grenzwert von Sekantensteigungen und beschreibt die Steigung eines Graphen an einer Stelle. Hier lernst du, ihn vom Differenzenquotienten zu unterscheiden, mit der h-Methode zu berechnen und zu prüfen, wann er gar nicht existiert.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Sonnenblume ist an Tag 2 genau 10 cm und an Tag 5 genau 25 cm hoch. Sie wächst also um 15 cm in 3 Tagen. Im Durchschnitt sind das \frac{25\,\mathrm{cm}-10\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{Tage}-2\,\mathrm{Tage}}=5\,\mathrm{cm/Tag}. Diese durchschnittliche Änderung pro Einheit berechnet der Differenzenquotient. Sein Wert gilt nur für das gewählte Intervall. Er ist nicht die gesamte Änderung, sondern die Änderung pro Einheit von x. Seine Einheit lautet deshalb „Einheit von f(x) pro Einheit von x“.
Definition
Differenzenquotient
Für zwei verschiedene Stellen x_1\ne x_2 heißt \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} Differenzenquotient. Er ist die mittlere Änderungsrate im Intervall zwischen x_1 und x_2 und geometrisch die Steigung der Sekante durch die beiden Graphenpunkte.
Beispiel: f(x)=\frac{1}{2}x^2 im Intervall [2;4]
- 1f(2)=\frac{1}{2}\cdot2^2=2 und f(4)=\frac{1}{2}\cdot4^2=8
- 2\frac{f(4)-f(2)}{4-2}=\frac{8-2}{2}=3
- 3Zwischen x=2 und x=4 steigt f im Schnitt um 3 pro Einheit in x-Richtung.
Teste dich
Für die Steigung an nur einer Stelle x_0 reichen zwei fest gewählte Punkte nicht. Deshalb schiebst du den zweiten Punkt immer näher an x_0 heran. Die Abstände werden kleiner, bleiben während der Rechnung aber von null verschieden. Jede Sekante hat eine Steigung, die du mit dem Differenzenquotienten berechnest. Nähern sich diese Sekantensteigungen einem festen Wert, ist er die Steigung der Tangente bei x_0. Die Tangente wird hier lokal über diesen Grenzwert verstanden: Sie darf den Graphen an anderer Stelle durchaus noch einmal treffen. Im Kontext bekommt der Grenzwert eine Bedeutung. Bei einer Weg-Zeit-Funktion s(t) ist \frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} die Durchschnittsgeschwindigkeit, der Differentialquotient s'(t_0) die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t_0. Wie du aus solchen Grenzwerten ganze Ableitungsfunktionen gewinnst, zeigt die Seite Ableitung.
Definition
Differentialquotient
Der Differentialquotient an der Stelle x_0 ist f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. Er ist die lokale Änderungsrate und die Steigung der Tangente im Graphenpunkt (x_0\mid f(x_0)).
Beispiel: Lokale Änderungsrate von f(x)=x^2-2x+3 bei x_0=2
- 1f(2)=2^2-2\cdot2+3=3
- 2\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^2-2x+3-3}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}
- 3Für x\ne2 kürzen: \frac{x(x-2)}{x-2}=x
- 4f'(2)=\lim_{x\to2}x=2: Die Tangente bei x=2 hat die Steigung 2.
Merke: Differenzenquotient: zwei verschiedene Stellen, Sekante, mittlere Änderung. Differentialquotient: eine Stelle als Grenzfall, Tangente, lokale Änderung.
Teste dich
Bei der h-Methode setzt du den zweiten x-Wert als x+h an. Der Abstand der beiden Stellen ist dann h. So erhältst du f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Wichtig: Im Differenzenquotienten gilt zunächst h\ne0. Würdest du sofort h=0 einsetzen, stünde im Nenner null. Deshalb setzt du erst ein, multiplizierst aus, fasst zusammen und kürzt h. Erst dann bildest du den Grenzwert. Typische Fehler sind fehlende Klammern bei f(x+h), ein vergessenes Minus vor f(x), falsches Ausmultiplizieren und das zu frühe Einsetzen von h=0. Später ersparen dir die Ableitungsregeln diese Rechnung. Die h-Methode zeigt, woher sie kommen.
Beispiel: Ableitungsfunktion von f(x)=x^2+x-2
- 1Einsetzen: f(x+h)=(x+h)^2+(x+h)-2
- 2Differenz mit Klammer: f(x+h)-f(x)=(x+h)^2+(x+h)-2-(x^2+x-2)
- 3Ausmultiplizieren: x^2+2xh+h^2+x+h-2-x^2-x+2=2xh+h^2+h
- 4Für h\ne0 kürzen: \frac{2xh+h^2+h}{h}=2x+h+1
- 5Grenzwert: f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+1)=2x+1
Merke: Erst umformen und h kürzen, dann h\to0 bilden. Setze f(x+h) und f(x) immer in Klammern.
Teste dich
Ein Differentialquotient existiert nur, wenn sich die Sekantensteigungen von links und von rechts demselben endlichen Wert nähern. Dann heißt die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Nähern sich die Steigungen von links und rechts verschiedenen Werten, hat der Graph dort einen Knick. Dann gibt es keine eindeutige Tangente und keinen Differentialquotienten.
Definition
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist an der Stelle x_0 differenzierbar, wenn der Grenzwert \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} existiert. Er ist dann f'(x_0).
Beispiel: f(x)=|2x-4| bei x_0=2
- 1Von links, x<2: |2x-4|=4-2x, also \lim_{x\to2^-}\frac{(4-2x)-0}{x-2}=\lim_{x\to2^-}\frac{-2(x-2)}{x-2}=-2
- 2Von rechts, x>2: |2x-4|=2x-4, also \lim_{x\to2^+}\frac{(2x-4)-0}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{2(x-2)}{x-2}=2
- 3Links -2, rechts 2: Die Werte stimmen nicht überein.
- 4Bei 2 existiert kein Differentialquotient, der Graph hat dort einen Knick.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Differentialquotient
Differenzenquotient
mittlere Änderung im Intervall, Steigung der Sekante
Differentialquotient
Grenzwert der Sekantensteigungen, Steigung der Tangente
h-Methode
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, erst kürzen, dann Grenzwert
Deutung
lokale oder momentane Änderungsrate, etwa die Momentangeschwindigkeit
Einheit
abhängige Größe pro unabhängige Größe
Differenzierbar
links und rechts derselbe endliche Grenzwert
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bestimme f'(2) für f(x)=2x^2-3x mit der h-Methode
- 1f(2)=2\cdot2^2-3\cdot2=2
- 2f(2+h)=2(2+h)^2-3(2+h)=8+8h+2h^2-6-3h=2+5h+2h^2
- 3\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{5h+2h^2}{h}=5+2h für h\ne0
- 4f'(2)=\lim_{h\to0}(5+2h)=5
- 5Die Tangente bei x=2 hat die Steigung 5.
Fehler finden
f'(3) für f(x)=x^2-x mit der h-Methode In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Minus vor der Klammer gilt auch für h: -(3+h)=-3-h. Richtig ist f(3+h)=6+5h+h^2, also f'(3)=\lim_{h\to0}(5+h)=5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Differenzenquotient ist die Steigung der . Der Differentialquotient ist der der Sekantensteigungen. Bei der h-Methode bildest du h\to0 erst .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback